《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 基本不等式

$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$
基本不等式成立的条件：$a\geqslant0,b\geqslant0$。
等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立。
两个平均数：$\frac{a + b}{2}$称为$a,b$的算术平均值，$\sqrt{ab}$称为$a,b$的几何平均值。
表述：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。
[微提醒] 在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立。

答案： $1. a\geqslant0,b\geqslant0 a=b $大于或等于

2. 利用基本不等式求最值
当$x,y$均为正数时，下面的命题均成立：
(1) 若$x + y = s$($s$为定值)，则当且仅当$x = y$时，$xy$取得最大值$\frac{x^{2}}{4}$。
(2) 若$xy = p$($p$为定值)，则当且仅当$x = y$时，$x + y$取得最小值$2\sqrt{p}$。
[微提醒] (1) 利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”。(2) 利用基本不等式求最值简记为：积定和最小，和定积最大。

答案： $2.(1)\frac{x^{2}}{4} (2)2\sqrt{p}$

1. (多选题)下列命题中不正确的是(ACD)

A.不等式$a^2 + b^2 \geq 2ab$与$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$成立的条件是相同的
B.若$x ＞ 0$，则$y = x + \frac{1}{x}$的最小值是$2$
C.函数$y = \sin x + \frac{4}{\sin x},x \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$的最小值是$4$
D.“$x ＞ 0$且$y ＞ 0$”是“$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2$”的充要条件

答案： 1.ACD 不等式$ a^{2}+b^{2}\geqslant2ab $成立的条件是$ a,b\in\mathbf{R},\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$成立的条件是$ a\geqslant0,b\geqslant0.$故 A 错误；由于$ x\in(0,+\infty)，$故函数$ y=x+\frac{1}{x}$的最小值为 2.故 B 正确；由于$ x\in(0,\frac{\pi}{2})，$$\sin x=\frac{4}{\sin x}$时，$\sin x=\pm2$无解，故$ \sin x+\frac{4}{\sin x}$的最小值不为 4.故 C 错误；$“\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqslant2”$的充要条件是“xy＞0”.故 D 错误.故选 ACD.

2. (链接北师必修一 P30A 组 T7，改编)设$x ＞ 0,y ＞ 0$，且$x + y = 18$，则$xy$的最大值为(C)

A.$77$
B.$80$
C.$81$
D.$82$

答案： $2.C xy\leqslant(\frac{x + y}{2})^2=81，$当且仅当 x=y=9 时，等号成立.故选 C.

3. (链接北师必修一 P28T4，改编)函数$y = x + \frac{1}{x + 1}(x \geq 0)$的最小值为1。

答案： 3.1 因为$ x\geqslant0，$所以 x + 1＞0，$\frac{1}{x + 1}＞0.$利用基本不等式得$ y=x+\frac{1}{x + 1}=x + 1+\frac{1}{x + 1}-1\geqslant2\sqrt{(x + 1)·\frac{1}{x + 1}}-1=1.$当且仅当$ x + 1=\frac{1}{x + 1}，$即 x=0 时，等号成立.所以函数$ y=x+\frac{1}{x + 1}(x\geqslant0)$的最小值为 1.

4. (链接北师必修一 P30 练习 T3，改编)若把总长为$20\ m$的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是25$m^2$。

答案： 4.25 设矩形的一边为 x m，面积为 y m²，则另一边为$ \frac{1}{2}×(20 - 2x)=(10 - x)m，$其中 0＜x＜10，所以$ y=x(10 - x)\leqslant[\frac{x+(10 - x)}{2}]^2=25，$当且仅当 x=10 - x，即 x=5 时，等号成立，所以$ y_{max}=25，$即矩形场地的最大面积是 25m².

1. 若$0 ＜ a ＜ b$，则下列不等式一定成立的是(C)

A.$b ＞ \frac{a + b}{2} ＞ a ＞ \sqrt{ab}$
B.$b ＞ \sqrt{ab} ＞ \frac{a + b}{2} ＞ a$
C.$b ＞ \frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab} ＞ a$
D.$b ＞ a ＞ \frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab}$

答案： 1.C 因为 0＜a＜b，所以 2b＞a + b，所以$ b＞\frac{a + b}{2}＞\sqrt{ab}.$因为 b＞a＞0，所以$ ab＞a^2，$所以$ \sqrt{ab}＞a.$故$ b＞\frac{a + b}{2}＞\sqrt{ab}＞a.$故选 C.

2. 《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明。现有图形如图所示，$C$为线段$AB$上的点，且$AC = a,BC = b$，$O$为$AB$的中点，以$AB$为直径作半圆，过点$C$作$AB$的垂线交半圆于点$D$，连接$OD,AD,BD$，过点$C$作$OD$的垂线，垂足为点$E$，则该图形可以完成的无字证明为(C)


A.$\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{ab}(a ＞ 0,b ＞ 0)$
B.$a^2 + b^2 \geq 2ab(a ＞ 0,b ＞ 0)$
C.$\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}(a ＞ 0,b ＞ 0)$
D.$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{a + b}{2}(a ＞ 0,b ＞ 0)$

答案： 2.C 根据图形，利用射影定理得$ CD^2 = DE· OD，$又$ OD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(a + b)，$$CD^2 = AC· CB = ab，$所以$ DE=\frac{CD^2}{OD}=\frac{ab}{\frac{a + b}{2}}，$由于$ OD\geqslant CD，$所以$ \frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}(a＞0,b＞0).$由于$ CD\geqslant DE，$所以$ \sqrt{ab}\geqslant\frac{2ab}{a + b}(a＞0,b＞0).$故选 C.