《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师必修一 P65A 组 T2，改编) $ y = \frac{x - 1}{x - 2} $ 在 $ [3, 4] $ 上的最大值为 (A)

A.$ 2 $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ \frac{5}{2} $
D.$ 4 $

答案： 2.A $y = \frac{x - 1}{x - 2} + 1 = \frac{x - 2 + 1}{x - 2} + 1 = \frac{1}{x - 2} + 1$.因为$y = \frac{1}{x - 2} + 1$在$[3,4]$上单调递减，所以当$x = 3$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{1}{3 - 2} + 1 = 2$.故选A.

3. (链接北师必修一 P65B 组 T3，改编) 若函数 $ f(x) = (m - 1)x + b $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是减函数，则 $ f(m) $ 与 $ f(1) $ 的大小关系是 (B)

A.$ f(m) ＜ f(1) $
B.$ f(m) ＞ f(1) $
C.$ f(m) \leq f(1) $
D.$ f(m) = f(1) $

答案： 3.B 因为函数$f(x) = (m - 1)x + b$在$\mathbf{R}$上是减函数，所以$m - 1 ＜ 0$，得$m ＜ 1$.因为$f(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数，所以$f(m) ＞ f(1)$.故选B.

4. (链接北师必修一 P65A 组 T4，改编) 已知函数 $ f(x) = x^2 - 2kx + 4 $ 在 $ [5, 20] $ 上单调，则实数 $ k $ 的取值范围是$(-\infty,5]\cup[20,+\infty)$.

答案： 4.$(-\infty,5]\cup[20,+\infty)$ 因为函数$f(x) = x^2 - 2kx + 4$在$[5,20]$上单调，所以$k\leq5$或$k\geq20$.

1. (2023·北京卷) 下列函数中，在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递增的是 (C)

A.$ f(x) = -\ln x $
B.$ f(x) = \frac{1}{2^x} $
C.$ f(x) = -\frac{1}{x} $
D.$ f(x) = 3^{|x - 1|} $

答案： 1.C 对于A，因为$y = \ln x$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)=-\ln x$在$(0,+\infty)$上单调递减，故A错误；对于B，因为$y = 2^x$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)=\frac{1}{2^x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，故B错误；对于C，因为$y = \frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)=-\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增，故C正确；对于D，因为$f(\frac{1}{2}) = 3^{|\frac{1}{2}| - 1}=3^{\frac{1}{2}-1}=3^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$f(1)=3^{|1| - 1}=3^0 = 1$，$f(2)=3^{|2| - 1}=3^1 = 3$，显然$f(x)=3^{|x - 1|}$在$(0,+\infty)$上不单调，故D错误.故选C.

2. (2025·江苏徐州模拟) 函数 $ f(x) = -\frac{1}{x - 2} $ 的单调递增区间是 (D)

A.$ (2, +\infty) $
B.$ (-\infty, 2) $
C.$ (-2, 2) $
D.$ (-\infty, 2) $，$ (2, +\infty) $

答案： 2.D 函数$f(x)=-\frac{1}{x - 2}$的定义域为$\{x|x\neq2\}$，所以$f(x)=-\frac{1}{x - 2}$的单调递增区间为$(-\infty,2),(2,+\infty)$.故选D.

3. 函数 $ y = f(x) $ 是实数集上的严格增函数，且 $ a + b ＞ 0 $，则 (A)

A.$ f(a) + f(b) ＞ f(-a) + f(-b) $
B.$ f(a) + f(b) ＜ f(-a) + f(-b) $
C.$ f(a) - f(b) ＞ f(-a) - f(-b) $
D.$ f(a) - f(b) ＜ f(-a) - f(-b) $

答案： 3.A 因为$a + b ＞ 0$，所以$a ＞ -b$，$b ＞ -a$，又因为$y = f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$f(a) ＞ f(-b)$，$f(b) ＞ f(-a)$，所以$f(a)+f(b) ＞ f(-a)+f(-b)$.故选A.

已知函数 $ f(x) = x + \frac{m}{x} $，且 $ f(1) = 2 $.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 判断函数 $ f(x) $ 在 $ (1, +\infty) $ 上是增函数还是减函数，并证明.

答案： 典例1 解：
(1)因为$f(1)=2$，所以$1 + m = 2$，所以$m = 1$.
(2)函数$f(x)$在$(1,+\infty)$上为增函数，证明如下：
设$x_1,x_2$是$(1,+\infty)$上的任意两个实数，且$1 ＜ x_1 ＜ x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)=x_1+\frac{1}{x_1}-(x_2+\frac{1}{x_2})=x_1 - x_2 + (\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})$
$=x_1 - x_2 + \frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}=\frac{(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{x_1x_2}$
当$1 ＜ x_1 ＜ x_2$时，$x_1x_2 ＞ 0$，$x_1x_2 - 1 ＞ 0$，$x_1 - x_2 ＜ 0$，
从而$f(x_1)-f(x_2) ＜ 0$，即$f(x_1) ＜ f(x_2)$，
所以函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(1,+\infty)$上为增函数.

[变式探究]
(变结论) 判断函数 $ f(x) $ 在 $ (-1, 0) $，$ (0, 1) $ 上是增函数还是减函数. (写出即可，不需证明)

答案： [变式探究] 函数$f(x)$在$(-1,0),(0,1)$上是减函数.