《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[变式探究]

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1.(变条件,变结论)若本例(1)变为:复数$\frac{a−1}{1−3i}$.对应
的点位于第四象限，则实数a的取值范围是
$(-3,\frac{1}{3})$.

答案： 1.$(-3,\frac{1}{3})$ $\frac{a-i}{1-3i}=\frac{(a-i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\frac{a+3+(3a-1)i}{10}$,在复平面对应的点为$(\frac{a+3}{10},\frac{3a-1}{10})$,由题意知,$\frac{a+3}{10}＞0$且$\frac{3a-1}{10}＜0$,解得$-3＜a＜\frac{1}{3}$,所以实数$a$的取值范围是$(-3,\frac{1}{3})$.

2.(变条件,变结论)若本例(1)变为:复数$\frac{a−1}{1−3i}$对应
的点位于直线y=x的左上方,则实数a的取值范
围是$(2,+\infty)$.

答案： 2.$(2,+\infty)$ $\frac{a-i}{1-3i}=\frac{(a-i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\frac{a+3+(3a-1)i}{10}$,复数$\frac{a-i}{1-3i}$对应的点在直线$y=x$的左上方,所以$3a-1＞a+3$,解得$a＞2$,故实数$a$的取值范围是$(2,+\infty)$.

x=5−2i,则N的共轭复数N在复平面内对应的
点位于 (B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 对点练1
(1)$B$ $z=\frac{5-2i}{(1+i)^2}=\frac{5-2i}{2i}=\frac{(5-2i)i}{-2}=\frac{5i+2}{-2}=-1-\frac{5}{2}i$,则$\overline{z}=-1+\frac{5}{2}i$,所以$\overline{z}$在复平面内对应的点为$(-1,\frac{5}{2})$,位于第二象限.故选$B$.

(2)已知复数N满足|N+il=|x−il,则|z+1+2il
的最小值为2.

答案：
(2)设复数$z$在复平面内对应的点为$Z$,因为复数$z$满足$\vert z+i\vert=\vert z-i\vert$,所以点$Z$到点$(0,-1)$和$(0,1)$的距离相等,所以在复平面内点$Z$的轨迹为$x$轴,又$\vert z+1+2i\vert$表示点$Z$到点$(-1,-2)$的距离,所以问题转化为$x$轴上的动点$Z$到定点$(-1,-2)$距离的最小值,所以$\vert z+1+2i\vert$的最小值为$2$.

典例2已知x=2−i,则x(z十i)= (C)

A.6−2i
B.4−2i
C.6+2i
D.4+2i

答案： 典例2 $C$ 因为$z=2-i$,所以$\overline{z}=2+i$,所以$z(\overline{z}+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i^2=6+2i$.故选$C$.

典例31(2023.全国甲卷)$\frac{5(1+i²)}{(2+i)(2−i)}$= (C)

A.−1
B.1
C.1−i
D.1+i

答案： 典例3 $C$ $\frac{5(1+i^3)}{(2+i)(2-i)}=\frac{5(1-i)}{5}=1-i$.故选$C$.

则N= (C)

A.−1−i
B.−1+i
C.1−i
D.1+i

答案： 对点练2
(1)$C$ 因为$\frac{z}{z-1}=1+i$,所以$z=(z-1)(1+i)$,即$z=z-1+zi-i$,即$zi=1+i$,所以$z=\frac{1+i}{i}=\frac{(1+i)(-i)}{i(-i)}=1-i$.故选$C$.

(2)(2024.浙江宁波调研)已知i为虚数单位,则
$\frac{;2025}{1−i}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$.

答案：
(2)$\frac{2025i^{2024}· i}{1-i}=\frac{(i^4)^{506}· i}{1-i}=\frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{i(1+i)}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$.

[真题再现] (2024.新课标II卷)已知z=−1−i!则
|x|= (C)

A.0
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.2
[教材呈现] (链接北师必修二P190A组T11)已知
x=$\frac{(4\sqrt{2}−3i)(−\sqrt{2}+i)}{\sqrt{2}−i}$,求|x|.
点评:这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样
的，都是复数模的求解，两题的相似度比较高.
请完成课时测评55

答案： [考教衔接 精研教材]
真题再现 $C$ $\vert z\vert=\vert-1-i\vert=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.故选$C$.