《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. 已知函数$f(x)=|\ln x|$，若$0＜a＜b$，且$f(a)=f(b)$，则$a + 2b$的取值范围是$(3,+\infty)$.

答案：
3.$(3,+\infty)$ $f(x)=|\ln x|$的图象如图，因为$f(a)=f(b)$，所以$|\ln a|=|\ln b|$，因为$0＜a＜b$，所以$\ln a＜0,\ln b＞0$，所以$0＜a＜1,b＞1$，所以$-\ln a=\ln b$，所以$\ln a+\ln b=\ln(ab)=0$，所以$ab = 1$，则$b=\frac{1}{a}$，所以$a + 2b=a+\frac{2}{a}$，令$g(x)=x+\frac{2}{x}(0＜x＜1)$，则$g(x)$在$(0,1)$上单调递减，所以$g(x)＞g(1)=1 + 2 = 3$，所以$a + 2b＞3$，所以$a + 2b$的取值范围为$(3,+\infty)$.

典例1 (1)已知$a=\log_{2}e$，$b=\ln2$，$c=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(D)

A.$a＞b＞c$
B.$b＞a＞c$
C.$c＞b＞a$
D.$c＞a＞b$

答案：
典例1
(1)D
(1)法一：(中间量法)因为$a=\log_{2}e＞1,b=\ln 2\in(0,1),c=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}=\log_{2}3＞\log_{2}e＞1$，所以$c＞a＞b$.故选D.
法二：(图象法)$c=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}=\log_{2}3$，在同一平面直角坐标系中作出函数$y=\log_{2}x,y=\ln x$的图象，如图，由图可知$c＞a＞b$.故选D.

(2)设$a=\log_{4}12$，$b=\log_{5}15$，$c=\log_{6}18$，则(A)

A.$a＞b＞c$
B.$b＞c＞a$
C.$a＞c＞b$
D.$c＞b＞a$

答案：
(2)$a = 1+\log_{3}3,b = 1+\log_{5}3,c = 1+\log_{8}3$，因为$\log_{3}3＞\log_{5}3＞\log_{8}3$，所以$a＞b＞c$.故选A.

(2)(2025·安徽江淮十校联考)已知函数$f(x)=\begin{cases}2x^{2},x\geqslant0,\\-2x^{2},x＜0,\end{cases}$则不等式$f((\log_{2}x)^{2}-3)＜4f(\log_{2}x)$的解集为 ______ .

答案：
(2)$(\frac{1}{2},8)$
(2)当$x\geq0$时，$f(x)=2x^{2}\geq0$，$4f(x)=8x^{2}=f(2x)$，且$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增.当$x＜0$时，$f(x)=-2x^{2}＜0$，$4f(x)=-8x^{2}=f(2x)$，且$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增.所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上有$4f(x)=f(2x)$，且函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的增函数，于是原不等式可化为$(\log_{2}x)^{2}-3＜2\log_{2}x$，即$(\log_{2}x)^{2}-2\log_{2}x - 3＜0$，即$(\log_{2}x + 1)(\log_{2}x - 3)＜0$，得$-1＜\log_{2}x＜3$，解得$\frac{1}{2}＜x＜8$，即原不等式的解集为$(\frac{1}{2},8)$.

(1)(2025·天津滨海新区模拟)已知$a=2^{\log_{2}0.4}$，$b=\log_{0.4}2$，$c=\frac{1}{\log_{0.3}0.4}$，则(C)
A. $a＞b＞c$
B. $b＞a＞c$
C. $c＞a＞b$
D. $a＞c＞b$
(2)(2025·浙江省名校联考)方程$\log_{3}x=\log_{6}x·\log_{9}x$的实数解有(C)
A. $0$个
B. $1$个
C. $2$个
D. $3$个

答案： 对点练1
(1)C
(2)C
(1)$a = 2^{\log_{0.3}0.4}=0.4,b=\log_{0.4}2＜\log_{0.4}1 = 0$，$0=\log_{0.3}1＜\log_{0.3}0.4＜\log_{0.3}0.3 = 1$，则$c＞1$，故$c＞a＞b$.故选C.
(2)$\log_{3}x=\frac{\ln x}{\ln 3}$，$\log_{6}x=\frac{\ln x}{\ln 6}$，$\log_{9}x=\frac{\ln x}{\ln 9}$，$\log_{3}x=\log_{6}x·\log_{9}x$，所以$\ln x = 0$或$\ln x=\frac{\ln 6·\ln 9}{\ln 3}=2\ln 6=\ln 36$，所以$x = 1$或$x = 36$，所以方程$\log_{3}x=\log_{6}x·\log_{9}x$的实数解有$2$个.故选C.

(1)求证：$y = f(x)$是奇函数；

答案： 解：
(1)证明：函数$y=\log_{\frac{1}{2}}\frac{2 + x}{x - 2}$的定义域为$D=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$，
在$D$中任取一个实数$x$，都有$-x\in D$，并且$f(-x)=\log_{\frac{1}{2}}\frac{2 - x}{-x - 2}=\log_{\frac{1}{2}}\frac{x - 2}{x + 2}=-\log_{\frac{1}{2}}\frac{x + 2}{x - 2}=-f(x)$，
因此$y=\log_{\frac{1}{2}}\frac{2 + x}{x - 2}$是奇函数.

(2)若关于$x$的方程$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x + k)$在区间$[3,4]$上有解，求实数$k$的取值范围.

答案：
(2)$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\frac{2 + x}{x - 2}$等价于$x + k=\frac{x + 2}{x - 2}$，即$k=\frac{4}{x - 2}-x + 1$在$[3,4]$上有解.
记$g(x)=\frac{4}{x - 2}-x + 1$，因为$g(x)$在$[3,4]$上单调递减，
所以，$g(x)_{\max}=g(3)=2$，$g(x)_{\min}=g(4)=-1$，
故$g(x)$的值域为$[-1,2]$，因此实数$k$的取值范围为$[-1,2]$.

(1)(多选题)(2025·河南焦作模拟)已知函数$f(x)=\lg(1 - x)$，则(ABC)
A. $f(x)$的定义域为$(-\infty,1)$
B. $f(x)$的值域为$\mathbf{R}$
C. $f(-1)+f(-4)=1$
D. $y = f(x^{2})$的单调递增区间为$(0,1)$
(2)(多选题)(2025·江西九江期末)设函数$f(x)=\ln\frac{x - 1}{x + 1}$，则$f(x)$(ABD)
A. 定义域为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
B. 图象关于原点对称
C. 在$(1,+\infty)$上单调递减
D. 不存在零点

答案： 对点练2
(1)ABC
(2)ABD
(1)对于$A,B$，由题意知$f(x)$的定义域为$(-\infty,1)$，值域为$\mathbf{R}$，故$A,B$均正确；对于$C$，$f(-1)+f(-4)=\lg 2+\lg 5=\lg 10 = 1$，故$C$正确；对于$D$，因为$f(x^{2})=\lg(1 - x^{2})$，根据复合函数的单调性知$y = f(x^{2})$的单调递增区间为$(-1,0)$不是$(0,1)$，故$D$错误.故选ABC.
(2)由$\frac{x - 1}{x + 1}＞0$，得$x＜-1$或$x＞1$，故$f(x)$的定义域是$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$，故$A$正确；因为$f(-x)=\ln\frac{-x - 1}{-x + 1}=\ln\frac{x + 1}{x - 1}=-\ln\frac{x - 1}{x + 1}=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数，故$B$正确；令$t=\frac{x - 1}{x + 1}=1-\frac{2}{x + 1}$在$(1,+\infty)$上单调递增，而函数$y=\ln t$在定义域内单调递增，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，故$C$错误；令$f(x)=0$，得$\frac{x - 1}{x + 1}=1$，$x$无实数解，所以$f(x)$不存在零点，故$D$正确.故选ABD.