《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师选择性必修一P16T1)直线$y = 1$的斜率是0。

答案：
2.0 直线 $y = 1$ 的图象如图所示:
易知其倾斜角 $\alpha = 0$，其斜率 $k = \tan 0 = 0$.

3. (链接北师选择性必修一P5T3)已知三点$A(-3,-1)$，$B(0,2)$，$C(m,4)$在同一直线上，则实数$m$的值为2。

答案： 3.2 因为 A,B,C 三点在同一直线上，所以 $k_{AB} = k_{AC}$，即 $\frac{2 - (-1)}{0 - (-3)} = \frac{4 - 2}{m - 0}$，故 $m = 2$.

4. (链接北师选择性必修一P13T3)过点$(3,-2)$且在$x$轴、$y$轴上截距相等的直线方程为$2x + 3y = 0$ 或 $x + y = 1$。

答案： 4.$2x + 3y = 0$ 或 $x + y = 1$ 由题知，若在 $x$ 轴，$y$ 轴上截距均为 0，即直线过原点，又过(3, -2)，则直线方程为 $y = -\frac{2}{3}x$，即 $2x + 3y = 0$；若截距不为 0，设在 $x$ 轴，$y$ 轴上的截距为 $a$，则直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$，又直线过点(3, -2)，则 $\frac{3}{a} + \frac{-2}{a} = 1$，解得 $a = 1$，所以此时直线方程为 $x + y = 1$.

1. 已知直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{p}=(\sin\frac{\pi}{3},\cos\frac{\pi}{3})$，则直线$l$的倾斜角为(A)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： 1.A 由题意可得，直线 $l$ 的斜率 $k = \frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，又倾斜角的范围是 $[0, \pi)$，所以 $k = \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan \frac{\pi}{6}$，即直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{6}$. 故选 A.

2. 已知两点$A(-1,2)$，$B(m,3)$，且$m\in[-\frac{\sqrt{3}}{3}-1,\sqrt{3}-1]$，则直线$AB$的倾斜角$\alpha$的取值范围是(D)

A.$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$
B.$(\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}]$
C.$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}]$
D.$[\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}]$

答案： 2.D ①当 $m = -1$ 时，$\alpha = \frac{\pi}{2}$；②当 $m \neq -1$ 时，因为 $k = \frac{1}{m + 1} \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$，所以 $\alpha \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}]$. 综合①②知直线 AB 的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围是 $[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$. 故选 D.

3. (双空题)已知点$A(1,3)$，$B(-2,-1)$。
(1)若直线$l:y = k(x - 2)+1$与线段$AB$相交，则实数$k$的取值范围是$[-2, \frac{1}{2}]$；
(2)若直线$l:y = kx$与线段$AB$相交，则实数$k$的取值范围是$(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [3, +\infty)$。

答案： 3.
(1) $[-2, \frac{1}{2}]$
(2) $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [3, +\infty)$
(1) 直线 $l: y = k(x - 2) + 1$ 经过定点 $P(2,1)$，因为 $k_{PA} = \frac{3 - 1}{1 - 2} = -2$，$k_{PB} = \frac{-1 - 1}{-2 - 2} = \frac{1}{2}$，又直线 $l: y = k(x - 2) + 1$ 与线段 AB 相交，所以 $-2 \leq k \leq \frac{1}{2}$，所以实数 $k$ 的取值范围是 $[-2, \frac{1}{2}]$.
(2) 直线 $l: y = kx$ 过定点 $P(0,0)$，因为 $k_{PA} = 3$，$k_{PB} = \frac{1}{2}$，所以 $k \geq 3$ 或 $k \leq \frac{1}{2}$，所以实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [3, +\infty)$.

(1)直线过点$A(-1,-3)$，且斜率为$-\frac{1}{4}$；

答案：
(1) 因为所求直线过点 $A(-1, -3)$，且斜率为 $-\frac{1}{4}$，所以所求直线方程为 $y + 3 = -\frac{1}{4}(x + 1)$，即 $x + 4y + 13 = 0$.

(2)直线过点$(2,1)$，且横截距为纵截距的两倍；

答案：
(2) 当横截距与纵截距都为 0 时，可设直线方程为 $y = kx$，又直线过点(2,1)，所以 $1 = 2k$，解得 $k = \frac{1}{2}$，所以直线方程为 $y = \frac{1}{2}x$，即 $x - 2y = 0$；当横截距与纵截距都不为 0 时，可设直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$，由题意可得 $\begin{cases} \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 \\ a = 2b \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases}$ 所以直线方程为 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$，即 $x + 2y - 4 = 0$；综上，所求直线方程为 $x - 2y = 0$ 或 $x + 2y - 4 = 0$.

(3)直线过点$(5,10)$，且原点到该直线的距离为$5$。

答案：
(3) 当直线的斜率不存在时，所求直线方程为 $x - 5 = 0$，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为 $k$，则所求直线方程为 $y - 10 = k(x - 5)$，即 $kx - y + 10 - 5k = 0$. 所以原点到直线的距离 $d = \frac{|10 - 5k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5$，解得 $k = \frac{3}{4}$，所以所求直线方程为 $3x - 4y + 25 = 0$. 综上，所求直线方程为 $x - 5 = 0$ 或 $3x - 4y + 25 = 0$.

对点练1. (1)经过点$(1,1)$，且方向向量为$(1,2)$的直线方程是(A)

A.$2x - y - 1 = 0$
B.$2x + y - 3 = 0$
C.$x - 2y + 1 = 0$
D.$x + 2y - 3 = 0$

答案： 对点练 1.
(1)A
(1) 因为直线的方向向量为(1,2)，所以直线的斜率 $k = 2$，又直线过点(1,1)，所以直线的方程为 $y - 1 = 2(x - 1)$，即 $2x - y - 1 = 0$. 故选 A.

(2)已知直线$l$过点$(1,0)$，且倾斜角为直线$l_0:x - 2y - 2 = 0$的倾斜角的$2$倍，则直线$l$的方程为4x - 3y - 4 = 0。

答案：
(2)4x - 3y - 4 = 0
(2) 由题意可设直线 $l_0$，$l$ 的倾斜角分别为 $\alpha$，$2\alpha$，因为直线 $l_0: x - 2y - 2 = 0$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，则 $\tan \alpha = \frac{1}{2}$，所以直线 $l$ 的斜率 $k = \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2 × \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{4}{3}$，所以由点斜式可得直线 $l$ 的方程为 $y - 0 = \frac{4}{3}(x - 1)$，即 $4x - 3y - 4 = 0$.

(1)证明：直线$l$过定点；

答案：
(1) 证明：直线 $l$ 的方程可化为 $k(x + 2) + (1 - y) = 0$，令 $\begin{cases} x + 2 = 0 \\ 1 - y = 0 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \end{cases}$ 所以无论 $k$ 取何值，直线总经过定点(-2,1).

(2)若直线不经过第四象限，求实数$k$的取值范围；

答案：
(2) 由方程知，当 $k \neq 0$ 时，直线在 $x$ 轴上的截距为 $-\frac{1 + 2k}{k}$，在 $y$ 轴上的截距为 $1 + 2k$，要使直线不经过第四象限，则必须有 $\begin{cases} -\frac{1 + 2k}{k} \leq -2 \\ 1 + 2k \geq 1 \end{cases}$ 解得 $k ＞ 0$；当 $k = 0$ 时，直线为 $y = 1$，符合题意，故实数 $k$ 的取值范围是 $[0, +\infty)$.

(3)若直线$l$交$x$轴负半轴于点$A$，交$y$轴正半轴于点$B$，$\triangle AOB$的面积为$S$($O$为坐标原点)，求$S$的最小值并求此时直线$l$的方程。

答案：
(3) 由题意可知 $k \neq 0$，再由 $l$ 的方程得 $A(-\frac{1 + 2k}{k}, 0)$，$B(0, 1 + 2k)$. 依题意得 $\begin{cases} -\frac{1 + 2k}{k} ＜ 0 \\ 1 + 2k ＞ 0 \end{cases}$ 因为 $S = \frac{1}{2} · |OA| · |OB| = \frac{1}{2} · \frac{1 + 2k}{k} · |1 + 2k| = \frac{1}{2} · \frac{(1 + 2k)^2}{k} = \frac{1}{2} · (4k + \frac{1}{k} + 4) \geq \frac{1}{2} × (2 × 2 + 4) = 4$，等号成立的条件是 $4k = \frac{1}{k}$，即 $k = \frac{1}{2}$，所以 $S_{\min} = 4$，此时直线 $l$ 的方程为 $x - 2y + 4 = 0$.