《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1) 点 $ A(5,0) $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ 3 $，求直线 $ l $ 的方程；

答案： 解:
(1)设经过两已知直线交点的直线为$2x + y - 5 + \lambda(x - 2y) = 0$，即$(2 + \lambda)x + (1 - 2\lambda)y - 5 = 0$，
所以$\frac{\vert 10 + 5\lambda - 5\vert}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + (1 - 2\lambda)^2}} = 3$，解得$\lambda = \frac{1}{2}$或$\lambda = 2$.
所以直线$l$的方程为$x = 2$或$4x - 3y - 5 = 0$.

(2) 求点 $ A(5,0) $ 到直线 $ l $ 的距离的最大值.

答案：

(2)由$\begin{cases}2x + y - 5 = 0\\x - 2y = 0\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，即交点$P(2,1)$，如图，过$P$作任一直线$l$，设$d$为点$A$到直线$l$的距离，

则$d\leq\vert PA\vert$（当$l\perp PA$时等号成立）.
所以$d_{max} = \vert PA\vert = \sqrt{10}$

变式探究
(变条件)若将本例变为：直线 $ l $ 经过直线 $ 2x + y - 5 = 0 $ 与 $ x - 2y = 0 $ 的交点且到点 $ A(1,0) $ 和点 $ B(3,4) $ 的距离相等，求直线 $ l $ 的方程.

答案： 解:由$\begin{cases}2x + y - 5 = 0\\x - 2y = 0\end{cases}$解得交点坐标为$(2,1)$.
当$AB// l$时，又$k_{AB} = 2$，
所以直线$l$的方程为$y - 1 = 2(x - 2)$，即$2x - y - 3 = 0$；
当$l$过$AB$中点时，又$AB$的中点为$(2,2)$，
所以直线$l$的方程为$x = 2$.
综上，直线$l$的方程为$2x - y - 3 = 0$或$x = 2$.

(1) 经过两直线 $ l_1:2x - y + 3 = 0 $ 与 $ l_2:x + 2y - 1 = 0 $ 的交点，且平行于直线 $ 3x + 2y + 7 = 0 $ 的直线方程是(D)
A. $ 2x - 3y + 5 = 0 $
B. $ 2x + 3y - 1 = 0 $
C. $ 3x + 2y - 2 = 0 $
D. $ 3x + 2y + 1 = 0 $
(2) 在平面直角坐标系中，记 $ d $ 为点 $ P(\cos \theta,\sin \theta) $ 到直线 $ x - my - 2 = 0 $ 的距离. 当 $ \theta $，$ m $ 变化时，$ d $ 的最大值为(C)
A. $ 1 $
B. $ 2 $
C. $ 3 $
D. $ 4 $
(3) (2025·云南宣威模拟)已知 $ P $，$ Q $ 分别在直线 $ l_1:x - y + 1 = 0 $ 与直线 $ l_2:x - y - 1 = 0 $ 上，且 $ PQ \perp l_1 $，点 $ A(-4,4) $，$ B(4,0) $，则 $ |AP| + |PQ| + |QB| $ 的最小值为$\sqrt{58} + \sqrt{2}$.

答案：

(1)D　
(2)C　
(3)$\sqrt{58} + \sqrt{2}$
(1)由$\begin{cases}2x - y + 3 = 0\\x + 2y - 1 = 0\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -1\\y = 1\end{cases}$，所以直线$l_1$与$l_2$的交点为$(-1,1)$，设与直线$3x + 2y + 7 = 0$平行的直线为$3x + 2y + m = 0(m\neq7)$，所以$3×(-1) + 2×1 + m = 0$，解得$m = 1$，所以所求直线方程为$3x + 2y + 1 = 0$.故选D.
(2)法一：由题意可得$d = \frac{\vert\cos\theta - m\sin\theta - 2\vert}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{\vert m\sin\theta - \cos\theta + 2\vert}{\sqrt{m^2 + 1}}$
$=\frac{\vert\sqrt{m^2 + 1}(\frac{m}{\sqrt{m^2 + 1}}\sin\theta - \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}\cos\theta) + 2\vert}{\sqrt{m^2 + 1}}$
$=\frac{\vert\sqrt{m^2 + 1}\sin(\theta - \varphi) + 2\vert}{\sqrt{m^2 + 1}}$（其中$\cos\varphi = \frac{m}{\sqrt{m^2 + 1}},\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$）
因为$-1\leq\sin(\theta - \varphi)\leq1$，所以$\frac{\vert 2 - \sqrt{m^2 + 1}\vert}{\sqrt{m^2 + 1}}\leq d\leq\frac{\sqrt{m^2 + 1} + 2}{\sqrt{m^2 + 1}}$
$\frac{\sqrt{m^2 + 1} + 2}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 + \frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}}$，所以当$m = 0$时，$d$取最大值$3$.故选C.
法二：易知点$P(\cos\theta,\sin\theta)$在单位圆$x^2 + y^2 = 1$上，直线$x - my - 2 = 0$恒过定点$A(2,0)$.
如图所示，作$OB$垂直该直线，垂足为$B$，则由图可知$d\leq\vert OB\vert + r\leq\vert OA\vert + r = 2 + 1 = 3$（其中$r$是单位圆的半径），

所以$d_{max} = 3$，此时$A$，$B$重合，直线方程为$x = 2$.故选C.
(3)由直线$l_1$与$l_2$间的距离为$\sqrt{2}$得$\vert PQ\vert = \sqrt{2}$，过$B(4,0)$作直线$l$垂直于$l_1:x - y + 1 = 0$，
则直线$l$的方程为$y = -x + 4$，将$B(4,0)$沿着直线$l$往上平移$\sqrt{2}$个单位到$B'$点，有$B'(3,1)$，连接$AB'$交直线$l_1$于点$P$，过$P$作$PQ\perp l_2$于$Q$，连接$BQ$，有$BB'// PQ$，$\vert BB'\vert = \vert PQ\vert$，即四边形$BB'PQ$为平行四边形，则$\vert PB'\vert = \vert BQ\vert$，即有$\vert AP\vert + \vert QB\vert = \vert AP\vert + \vert PB'\vert = \vert AB'\vert$，显然$\vert AB'\vert$是直线$l_1$上的点与点$A$，$B$距离和的最小值，因此$\vert AP\vert + \vert QB\vert$的最小值，即$\vert AP\vert + \vert PB'\vert$的最小值$\vert AB'\vert$，$\vert AB'\vert = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{58}$，所以$\vert AP\vert + \vert PQ\vert + \vert QB\vert$的最小值为$\vert AB'\vert + \vert PQ\vert = \sqrt{58} + \sqrt{2}$；

典例 4 直线 $ l:4x + 3y - 2 = 0 $ 关于点 $ A(1,1) $ 对称的直线方程为(B)

A.$ 4x + 3y - 4 = 0 $
B.$ 4x + 3y - 12 = 0 $
C.$ 4x - 3y - 4 = 0 $
D.$ 4x - 3y - 12 = 0 $

答案： B 设直线$l:4x + 3y - 2 = 0$关于点$A(1,1)$对称的直线上任意一点为$P(x,y)$，则$P(x,y)$关于$A(1,1)$的对称点为$B(2 - x,2 - y)$，又因为$B(2 - x,2 - y)$在直线$4x + 3y - 2 = 0$上，所以$4(2 - x) + 3(2 - y) - 2 = 0$，即$4x + 3y - 12 = 0$.故选B.

典例 5 两直线方程 $ l_1:3x - 2y - 6 = 0 $，$ l_2:x - y - 2 = 0 $，则 $ l_1 $ 关于 $ l_2 $ 对称的直线方程为(C)

A.$ 3x - 2y - 4 = 0 $
B.$ 2x + 3y - 6 = 0 $
C.$ 2x - 3y - 4 = 0 $
D.$ 3x - 2y - 6 = 0 $

答案： C 设所求直线上任一点$M(x,y)$，$M$关于直线$x - y - 2 = 0$的对称点为$M'(x_1,y_1)$，
则$\begin{cases}\frac{y - y_1}{x - x_1} = -1\frac{x + x_1}{2} - \frac{y + y_1}{2} - 2 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1 = y + 2\\y_1 = x - 2\end{cases}$
因为点$M'$在直线$3x - 2y - 6 = 0$上，所以将$(*)$式代入，得$3(y + 2) - 2(x - 2) - 6 = 0$，化简得$2x - 3y - 4 = 0$，即为$l_1$关于$l$对称的直线方程.故选C.

(1) (2025·广东广州模拟)已知点 $ A $ 与点 $ B(1,2) $ 关于直线 $ x + y + 3 = 0 $ 对称，则点 $ A $ 的坐标为(D)
A. $ (3,4) $
B. $ (4,5) $
C. $ (-4,-3) $
D. $ (-5,-4) $
(2) (2025·陕西宝鸡模拟)光线沿着直线 $ y = -3x + b $ 射到直线 $ x + y = 0 $ 上，经反射后沿着直线 $ y = ax + 2 $ 射出，则有(D)
A. $ a = \dfrac{1}{3} $，$ b = 6 $
B. $ a = -3 $，$ b = \dfrac{1}{6} $
C. $ a = 3 $，$ b = -\dfrac{1}{6} $
D. $ a = -\dfrac{1}{3} $，$ b = -6 $

答案：
(1)D　
(2)D
(1)设$A(x,y)$，则$\begin{cases}\frac{y - 2}{x - 1}·(-1) = -1\\·s\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -5\\y = -4\end{cases}$，所以点$A$的坐标为$(-5,-4)$.故选D.
(2)由题意得，直线$y = -3x + b$与直线$y = ax + 2$关于直线$y = -x$对称，所以直线$y = ax + 2$上的点$(0,2)$关于直线$y = -x$的对称点$(-2,0)$在直线$y = -3x + b$上，所以$(-3)×(-2) + b = 0$，所以$b = -6$，所以直线$y = -3x - 6$上的点$(0,-6)$关于直线$y = -x$的对称点$(6,0)$在直线$y = ax + 2$上，所以$6a + 2 = 0$，所以$a = -\frac{1}{3}$.故选D.