《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2)(多选题)在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，下列条件能判断$\triangle ABC$是钝角三角形的有(ABC)

A.$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$
B.$\cos A ＞ \sin B$
C.$\dfrac{\sin A - \sin B}{\sin C + \sin B} = \dfrac{c}{a + b}$
D.$b^{2}\sin^{2}C + c^{2}\sin^{2}B = 2bc\cos B\cos C$
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答案： ABC　
(2)对于A，因为$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$，所以角C最大，由$\cos C=\frac{2^{2}+3^{2}-4^{2}}{2×2×3}=-\frac{1}{4}＜0\Rightarrow\frac{\pi}{2}＜C＜\pi$，所以$\triangle ABC$是钝角三角形，故A正确；对于B，若$\cos A＞\sin B$，由于$\sin B＞0$，则$\cos A＞0$，则A为锐角；若B为锐角，则$\cos A＞\cos(\frac{\pi}{2}-B)$，可得$A＜\frac{\pi}{2}-B$，则$A + B＜\frac{\pi}{2}$，所以$C＞\frac{\pi}{2}$，故$\triangle ABC$为钝角三角形；若B为钝角，则$\cos A＞\cos(B-\frac{\pi}{2})$，可得$A＜B-\frac{\pi}{2}$，则$B＞A+\frac{\pi}{2}$，适合题意，此时$\triangle ABC$为钝角三角形；综合以上可知$\triangle ABC$为钝角三角形，故B正确；对于C，根据正弦定理，由$\frac{\sin A-\sin B}{\sin C+\sin B}=\frac{a - b}{a + b}=\frac{c}{a + b}\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}+bc$，由余弦定理可知$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}\Rightarrow A=\frac{2\pi}{3}$，所以$\triangle ABC$是钝角三角形，C正确；对于D，根据正弦定理，由$b^{2}\sin^{2}C + c^{2}\sin^{2}B=2b\cos B\cos C\Rightarrow\sin^{2}B\sin^{2}C+\sin^{2}C\sin^{2}B=2\sin B\cos B\cos C\Rightarrow\sin B\sin C=\cos B\cos C\Rightarrow\cos(B + C)=0\Rightarrow\cos(\pi - A)=0\Rightarrow\cos A = 0\Rightarrow A=\frac{\pi}{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，D不符合题意.故选ABC.

[变式探究]

答案： 答题卡填写内容如下：
由题目（虽未明确给出具体题目，但按常规变式探究类型）假设一般性题目为：在$\bigtriangleup ABC$中，已知$a = 3,B = 60^{\circ},A = 45^{\circ}$，求$b,c$。
根据正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。
首先求$b$：
由$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，可得$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$，已知$a = 3$，$\sin B=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin A=\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$b=\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$。
然后求$C$：
因为$A + B + C=1 \pi8 0^{\circ}$，所以$C = 180^{\circ}-A - B=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$，$\sin C=\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
最后求$c$：
由$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，可得$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$，把$a = 3$，$\sin C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入得$c=\frac{3×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3(\sqrt{3} + 1)}{2}$。
综上，$b=\frac{3\sqrt{6}}{2}$，$c=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$。

1. (变条件)若将本例(1)中的条件改为“$2\sin A\cos B = \sin C$”，试判断$\triangle ABC$的形状.
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答案： 1.解:法一:由已知得$2\sin A\cos B=\sin C=\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，即$\sin(A - B)=0$，
　因为$-\pi＜A - B＜\pi$，所以$A = B$，故$\triangle ABC$为等腰三角形.
法二:由正弦定理得$2a\cos B = c$，再由余弦定理得$2a·\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=c\Rightarrow a^{2}=b^{2}\Rightarrow a = b$，故$\triangle ABC$为等腰三角形.

2. (变条件)若将本例(1)中的条件改为“$\dfrac{\cos A}{\cos B} = \dfrac{b}{a}$”，试判断$\triangle ABC$的形状.
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答案： 2.解:法一:由余弦定理得，$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{2bc}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\frac{b}{a}$
　化简得$(a^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2}-b^{2}) = 0$，
　所以$a = b$或$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$\triangle ABC$为等腰三角形或直角三角形
　法二:由$\frac{\cos A}{b}=\frac{b}{a}$可知$\cos A＞0$，$\cos B＞0$，
　即$A\in(0,\frac{\pi}{2})$，$B\in(0,\frac{\pi}{2})$，
　结合题意及正弦定理可得$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{\sin B}{\sin A}$，即$\sin A\cos A=\sin B\cos B$，
　所以$\frac{1}{2}\sin2A=\frac{1}{2}\sin2B$，则$2A = 2B$或$2A+2B=\pi$，
　即$A = B$或$A + B=\frac{\pi}{2}$，所以$\triangle ABC$为等腰三角形或直角三角形

(1)(2025·福建龙岩模拟)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$，$\cos B = -\dfrac{1}{2}$，$a\sin B = b\sin C$，则该三角形的形状是(B)
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
(2)(2025·天津南开区模拟)在$\triangle ABC$中，已知$\dfrac{a\sin A}{a^{2} + c^{2} - b^{2}} = \dfrac{b\sin B}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}$，则$\triangle ABC$的形状为(C)
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等边三角形

答案：
(1)B　
(2)C　
(1)由$\cos B=-\frac{1}{2}$，$B\in(0,\pi)$，则$B=\frac{2\pi}{3}$，由$a\sin B = b\sin C$，则$\sin A\sin B=\sin B\sin C$，由于$\sin B\neq0$，则$\sin A=\sin C$，因为A，C均为三角形的内角，所以$A = C$，即$a = c$，故该三角形的形状是等腰三角形.故选B.
(2)在$\triangle ABC$中，由$\frac{a\sin A}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\frac{b\sin B}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}$及余弦定理，得$\frac{a\sin A}{2ac\cos B}=\frac{b\sin B}{2bc\cos A}$，整理得$\sin A\cos A=\sin B\cos B$，即$\sin2A=\sin2B$，而$0＜2A＜2\pi$，$0＜2B＜2\pi$，$0＜2A + 2B＜2\pi$，因此$2A = 2B$或$2A+2B=\pi$，所以$A = B$或$A + B=\frac{\pi}{2}$，即$\triangle ABC$为等腰三角形或直角三角形.故选C;

(1)求$\angle A$；

答案：
(1)由题知，$2\sin B·\cos B=\frac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$.
　又A为钝角，所以B为锐角，故$\cos B\neq0$，所以$2\sin B=\frac{\sqrt{3}}{7}b$.
　又$\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\sin A}$，所以$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
　又A为钝角，所以$A=\frac{2\pi}{3}$.

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得$\triangle ABC$存在，求$\triangle ABC$的面积.
条件①：$b = 7$；
条件②：$\cos B = \dfrac{13}{14}$；
条件③：$c\sin A = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
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答案：
(2)若选条件①，结合
(1)得$2\sin B=\frac{\sqrt{3}}{7}×7$，
　所以$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$B=\frac{\pi}{3}$，$A + B=\pi$，
　则$\triangle ABC$不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
　若选条件②，由题知$\sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
　又$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，即$\frac{7}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{b}{\frac{3\sqrt{3}}{14}}$，所以$b = 3$.
　又$C=\pi-(A + B)$，所以$\sin C=\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{13}{14}-\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$.
　所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}×7×3×\frac{5\sqrt{3}}{14}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$.
　若选条件③，由题知$c·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，所以$c = 5$.
　由$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，得$49=b^{2}+25 + 5b$，即$(b + 8)(b - 3)=0$，
　解得$b = 3$(负值舍去).
　所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}×3×5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$.