《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 异面直线的夹角
设异面直线 $a$，$b$ 的夹角为 $\theta$，其方向向量分别为 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，则 $\cos \theta = |\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle| = \left| \dfrac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|} \right| = \dfrac{|\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|}$。

答案： 设异面直线 $a$，$b$ 的夹角为 $\theta$，其方向向量分别为 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$。
根据向量点积的定义，两向量的点积 $\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$。
因此，$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|}$。
由于异面直线的夹角 $\theta$ 是锐角或直角，所以 $\cos \theta = |\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle|$。
代入得 $\cos \theta = \left| \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|} \right| = \frac{|\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|}$。
故答案为$\cos \theta = \frac{|\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|}$。

2. 直线与平面的夹角
如图所示，设 $l$ 为平面 $\alpha$ 的斜线，$l \cap \alpha = A$，$\boldsymbol{l}$ 为 $l$ 的方向向量，$\boldsymbol{n}$ 为平面 $\alpha$ 的一个法向量，$\theta$ 为 $l$ 与 $\alpha$ 的夹角，则 $\sin \theta = |\cos \langle \boldsymbol{l}, \boldsymbol{n} \rangle| = \dfrac{|\boldsymbol{l} · \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{l}| |\boldsymbol{n}|}$。

答案： 已知直线$l$为平面$\alpha$的斜线，$l \cap \alpha = A$，$\boldsymbol{l}$为$l$的方向向量，$\boldsymbol{n}$为平面$\alpha$的一个法向量，$\theta$为$l$与$\alpha$的夹角。
根据直线与平面夹角的向量公式，$\sin\theta = |\cos\langle \boldsymbol{l}, \boldsymbol{n}\rangle|$。
因为向量点积公式$\boldsymbol{l} · \boldsymbol{n} = |\boldsymbol{l}||\boldsymbol{n}|\cos\langle \boldsymbol{l}, \boldsymbol{n}\rangle$，所以$|\cos\langle \boldsymbol{l}, \boldsymbol{n}\rangle| = \dfrac{|\boldsymbol{l} · \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{l}||\boldsymbol{n}|}$。
综上，$\sin\theta = \dfrac{|\boldsymbol{l} · \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{l}||\boldsymbol{n}|}$。
结论：$\sin\theta = \dfrac{|\boldsymbol{l} · \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{l}| |\boldsymbol{n}|}$

3. 平面与平面的夹角
设平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别是 $\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$，则平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角与两法向量的夹角 $\langle \boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2 \rangle$ 相等或互补。
设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 与 $\cos \langle \boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2 \rangle$ 有关系。

答案： 设平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$，两法向量的夹角为$\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle$，平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角为$\theta$。
因为空间两个平面的夹角$\theta$是锐角（或直角），两法向量的夹角$\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle$可能为锐角或钝角，所以：
当$0^{\circ}\leq\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle\leq90^{\circ}$时，$\theta = \langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle$，此时$\cos\theta=\vert\frac{\boldsymbol{n}_1·\boldsymbol{n}_2}{\vert\boldsymbol{n}_1\vert\vert\boldsymbol{n}_2\vert}\vert$（取绝对值是因为两个平面夹角余弦值非负）；
当$90^{\circ}\lt\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle\leq180^{\circ}$时，$\theta = 180^{\circ}-\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle$，$\cos\theta=\cos(180^{\circ}-\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle)=-\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle=\vert\frac{\boldsymbol{n}_1·\boldsymbol{n}_2}{\vert\boldsymbol{n}_1\vert\vert\boldsymbol{n}_2\vert}\vert$。
综上，$\cos\theta=\vert\frac{\boldsymbol{n}_1·\boldsymbol{n}_2}{\vert\boldsymbol{n}_1\vert\vert\boldsymbol{n}_2\vert}\vert$。

1. (多选题)下列结论不正确的是 (ABC)

A.两条异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角相等
B.直线 $l$ 的方向向量与平面 $\alpha$ 的法向量的夹角就是直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的夹角
C.二面角的平面角为 $\theta$，则两个面的法向量的夹角也是 $\theta$
D.若 $\cos \langle \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ} \rangle = -\dfrac{1}{3}$，则异面直线 $MN$ 与 $PQ$ 的夹角余弦值为 $\dfrac{1}{3}$

答案： 1.ABC

2. (链接北师选择性必修一 P131 例 9)已知向量 $\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$ 分别是直线 $l$ 的方向向量和平面 $\alpha$ 的法向量，若 $\cos \langle \boldsymbol{m}, \boldsymbol{n} \rangle = -\dfrac{1}{2}$，则直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的夹角为 (A)

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： 2.A 设直线$l$与平面$\alpha$的夹角为$\theta$，则$\sin\theta = \vert\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle\vert=\frac{1}{2}$，又$0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ}$，则$\theta = 30^{\circ}$.故选A.

3. (链接北师选择性必修一 P132T1)在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为 $AA_1$，$AB$，$BB_1$，$B_1C_1$ 的中点，则异面直线 $EF$ 与 $GH$ 的夹角等于 (B)

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案：
3.B 取$A_{1}B_{1}$的中点$M$，连接$GM,HM$.因为在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M,H,G$为$A_{1}B_{1},B_{1}C_{1},B_{1}B$的中点，所以$\triangle GMH$为正三角形，$\angle MGH$为$EF$与$GH$的夹角.所以$\angle MGH = 60^{\circ}$.故选B.

4. （链接北师选择性必修一 P133 例 11）已知在一个二面角的棱上有两点 $A$，$B$，线段 $AC$，$BD$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $AB$，若 $AB = 5$，$AC = 3$，$BD = 4$，$CD = 5\sqrt{2}$，则这个二面角的大小为$\frac{\pi}{2}$ 。

答案：
4.$\frac{\pi}{2}$ 如图，设$\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\rangle=\theta(0\leq\theta\leq\pi)$，则二面角的大小为$\theta$.因为$CA\perp AB,AB\perp BD$，所以$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{AB}=0$.因为$\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD}\rangle = 180^{\circ}-\theta$，所以$\vert\overrightarrow{CD}\vert^{2}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})^{2}=\vert\overrightarrow{CA}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{BD}\vert^{2}+2\vert\overrightarrow{CA}\vert\vert\overrightarrow{BD}\vert\cos(180^{\circ}-\theta)$，所以$(5\sqrt{2})^{2}=3^{2}+5^{2}+4^{2}+2×3×4×(-\cos\theta)$，所以$\cos\theta = 0$，所以$\theta=\frac{\pi}{2}$.因此所求二面角的大小为$\frac{\pi}{2}$.

(1)如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 为正方形，$PA = BC$，$E$ 为 $CD$ 的中点，$F$ 为 $PC$ 的中点，则异面直线 $BF$ 与 $PE$ 的夹角的余弦值为 (B)

A.$-\dfrac{\sqrt{3}}{9}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$
C.$-\dfrac{5\sqrt{3}}{9}$
D.$\dfrac{5\sqrt{3}}{9}$

答案：

(1)B 如图，以点$A$为坐标原点，以$AB,AD,AP$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系，设$AB = 2$，异面直线$BF$与$PE$的夹角为$\theta$，则$A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,0),F(1,1,1)$，所以$\overrightarrow{BF}=(-1,1,1),\overrightarrow{PE}=(1,2,-2)$，所以$\cos\theta=\vert\cos\langle\overrightarrow{BF},\overrightarrow{PE}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{PE}\vert}{\vert\overrightarrow{BF}\vert\vert\overrightarrow{PE}\vert}=\frac{\vert -1 + 2 - 2\vert}{\sqrt{3}×3}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，所以异面直线$BF$与$PE$的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{9}$.故选B.