《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现] (2021·全国乙卷)设函数 $ f(x) = \dfrac{1 - x}{1 + x} $，则下列函数中为奇函数的是(B)

A.$ f(x - 1) - 1 $
B.$ f(x - 1) + 1 $
C.$ f(x + 1) - 1 $
D.$ f(x + 1) + 1 $

答案： 真题再现 B 由题意可得$f(x) = \frac{1 - x}{1 + x} = -1 + \frac{2}{1 + x}$，对于A，$f(x - 1) - 1 = \frac{2}{x} - 2$不是奇函数；对于B，$f(x - 1) + 1 = \frac{2}{x}$是奇函数；对于C，$f(x + 1) - 1 = \frac{2}{x + 2}-2$，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，$f(x + 1) + 1 = \frac{2}{x + 2}$，定义域不关于原点对称，不是奇函数。故选B。

[教材呈现] （北师必修一 P73B 组 T4）设 $ f(x) = \dfrac{1 - x}{1 + x} $，求证：
(1) $ f(-x) = \dfrac{1}{f(x)} $（$ x \neq \pm 1 $）；
(2) $ f \left( \dfrac{1}{x} \right) = -f(x) $（$ x \neq -1 $，且 $ x \neq 0 $）。

答案：
(1) 证明：
因为 $ f(x) = \dfrac{1 - x}{1 + x} $，
所以 $ f(-x) = \dfrac{1 - (-x)}{1 + (-x)} = \dfrac{1 + x}{1 - x} $。
又因为 $ \dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1 + x}{1 - x} $，
故 $ f(-x) = \dfrac{1}{f(x)} $（$ x \neq \pm 1 $）。
(2) 证明：
因为 $ f(x) = \dfrac{1 - x}{1 + x} $，
所以 $ f\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{\dfrac{x - 1}{x}}{\dfrac{x + 1}{x}} = \dfrac{x - 1}{x + 1} = -\dfrac{1 - x}{1 + x} $。
又因为 $ -f(x) = -\dfrac{1 - x}{1 + x} $，
故 $ f\left( \dfrac{1}{x} \right) = -f(x) $（$ x \neq -1 $，且 $ x \neq 0 $）。

1. 根式的概念及性质

定义：
一般地，如果$x^{n}=a$，那么$x$叫作$a$的$n$次方根，其中$n＞1$，且$n\in\mathbf{N}^{*}$.
式子$\sqrt[n]{a}$叫作根式，这里$n$叫作根指数，$a$叫作被开方数.
性质：
$(\sqrt[n]{a})^{n}=$$a$.
当$n$为奇数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=$$a^{2}$.
当$n$为偶数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=\vert a\vert=\begin{cases}a,a\geqslant0,\\ -a,a＜0.\end{cases}$

答案： $x$ 根式 $a a^{2}$

2. 分数指数幂
概念：
正数的正分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}}=$$\sqrt[n]{a^{m}}$$(a＞0,m,n\in\mathbf{N}^{*},n＞1$，且$m,n$互素$)$.

正数的负分数指数幂：$a^{-\frac{m}{n}}=$$\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$$=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}(a＞0,m,n\in\mathbf{N}^{*},n＞1$，且$m,n$互素$)$.
$0$的正分数指数幂等于$0$，$0$的负分数指数幂没有意义.
性质：
$a^{\alpha}· a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$
$(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}$
$(ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}$(其中$a＞0,b＞0,\alpha,\beta\in\mathbf{R}$)

答案： $\sqrt[n]{a^{m}} \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \quad 0$

3. 对数

概念：
一般地，如果$a(a＞0$，且$a\neq1)$的$b$次幂等于$N$，即$a^{b}=N$，那么数$b$称为以$a$为底$N$的对数，记作$\log_{a}N = b$，其中$a$叫作对数的底数，$N$叫作真数. 以$10$为底的对数叫作常用对数，记作$\lg N$. 以$e$为底的对数叫作自然对数，记作$\ln N$. $(e=2.718281·s)$
性质：
$\log_{a}a^{N}=$，$a^{\log_{a}N}=N(a＞0,a\neq1,N＞0)$.
运算法则：
如果$a＞0$，且$a\neq1$，$M＞0$，$N＞0$，$n\in\mathbf{R}$，那么
$\log_{a}(MN)=$$\log_{a}M + \log_{a}N$.
$\log_{a}\frac{M}{N}=$$\log_{a}M - \log_{a}N$.
$\log_{a}M^{n}=$$n\log_{a}M$.
换底公式：
$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}(a＞0$，且$a\neq1$，$c＞0$，且$c\neq1$，$b＞0)$

答案： $\log_{a}N = b \Leftrightarrow a \quad \mathrm{N} \lg N \ \ln \mathrm{N}$ $\log_{a}M + \log_{a}N \log_{a}M - \log_{a}N \ n\log_{a}M$