《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2)已知 $ P $ 是椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 $ 上的动点，$ F_{1} $，$ F_{2} $ 分别是其左右焦点，$ O $ 是坐标原点，则 $ \dfrac{|\overrightarrow{PF_{1}}|-|\overrightarrow{PF_{2}}|}{|\overrightarrow{PO}|} $ 的取值范围是$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$.

答案：
(2)$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

(1)双曲线 $ x^{2}-\dfrac{y^{2}}{3}=1 $ 的右支上一点 $ P $，到左焦点 $ F_{1} $ 与到右焦点 $ F_{2} $ 的距离之比为 $ 2:1 $，求点 $ P $ 的坐标.
(2)已知点 $ A(-2,\sqrt{3}) $，设点 $ F $ 为椭圆 $ \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{12}=1 $ 的右焦点，点 $ M $ 为椭圆上一动点，求 $ |MA|+2|MF| $ 的最小值，并求此时点 $ M $ 的坐标.

答案：

(1)设点$P(x_{0},y_{0})(x_{0}＞0)$，双曲线的左准线为$l_{1}:x=-\frac{1}{2}$，右准线为$l_{2}:x=\frac{1}{2}$，则点$P$到$l_{1},l_{2}$的距离分别为$d_{1}=x_{0}+\frac{1}{2}$，$d_{2}=x_{0}-\frac{1}{2}$，所以$\frac{\vert PF_{1}\vert}{\vert PF_{2}\vert}=\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{x_{0}+\frac{1}{2}}{x_{0}-\frac{1}{2}}=\frac{2}{1}$，解得$x_{0}=\frac{3}{2}$，将其代入原方程，得$y_{0}=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}$，因此点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\pm\frac{\sqrt{15}}{2})$。
(2)椭圆的右准线为$l:x = 8$。
如图，过点$A$作右准线$l$的垂线，垂足为$N$，与椭圆交于点$M$，
因为椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$，所以由第二定义得$2\vert MF\vert=\vert MN\vert$，所以$\vert MA\vert+2\vert MF\vert$的最小值为$\vert AN\vert$的长，且$\vert AN\vert=2 + 8 = 10$，当$y=\sqrt{3}$时，$x = 2\sqrt{3}$，或$x=-2\sqrt{3}$(舍)，所以$\vert MA\vert+2\vert MF\vert$的最小值为$10$，此时点$M$的坐标为$(2\sqrt{3},\sqrt{3})$。

(1)已知椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1 $ 的左、右顶点分别为 $ A_{1} $，$ A_{2} $，点 $ P $ 在 $ C $ 上，且直线 $ PA_{2} $ 斜率的取值范围是 $[-2,-1]$，则直线 $ PA_{1} $ 斜率的取值范围是(B)

A.$\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\right]$
B.$\left[\dfrac{3}{8},\dfrac{3}{4}\right]$
C.$\left[\dfrac{1}{2},1\right]$
D.$\left[\dfrac{3}{4},1\right]$

答案：
(1)B

(2)(2022·全国甲卷)椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $ 的左顶点为 $ A $，点 $ P $，$ Q $ 均在 $ C $ 上，且关于 $ y $ 轴对称. 若直线 $ AP $，$ AQ $ 的斜率之积为 $ \dfrac{1}{4} $，则 $ C $ 的离心率为(A)

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{3}$

答案：
(2)A

(1)已知双曲线 $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0) $ 上两点 $ M $，$ N $ 关于原点对称，$ P $ 为双曲线上的点，且直线 $ PM $，$ PN $ 的斜率分别为 $ k_{1} $，$ k_{2} $，若 $ k_{1}· k_{2}=\dfrac{1}{4} $，则该双曲线的离心率为(A)
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
B. $ 2 $
C. $\sqrt{5}$
D. $ 2\sqrt{5} $
(2)已知椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $，$ M $，$ N $ 分别为椭圆 $ C $ 的左、右顶点，若在椭圆 $ C $ 上存在一点 $ H $，使得 $ k_{MH}· k_{NH}\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right) $，则椭圆 $ C $ 的离心率 $ e $ 的取值范围为(A)
A. $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$
B. $\left(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
C. $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},1\right)$
D. $\left(0,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

答案：
(1)A
(2)A