《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现] (2024·新课标Ⅰ卷)
已知函数 $ f(x) = \begin{cases}-x^2 - 2ax - a, & x ＜ 0, \\ e^x + \ln(x + 1), & x \geq 0\end{cases}$ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围是 ( )

A.$ (-\infty, 0] $
B.$ [-1, 0] $
C.$ [-1, 1] $
D.$ [0, +\infty) $

答案： 真题再现 B 因为函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，且当$x ＜ 0$时，$f(x)=-x^2 - 2ax - a$，所以$f(x)=-x^2 - 2ax - a$在$(-\infty,0)$上单调递增，所以$-\frac{-2a}{-2}=-a\geq0$，即$a\leq0$；当$x\geq0$时，$f(x)=e^x + \ln(x + 1)$，所以函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增.若函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，则$-a\leq f(0)=1$，即$a\geq - 1$.综上，实数$a$的取值范围是$[-1,0]$.故选B.

[教材呈现] (北师必修一 P73C 组 T3)
已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x + 3a, & x \geq 0, \\ x^2 - ax + 1, & x ＜ 0 \end{cases} $ 在定义域 $ \mathbf{R} $ 上是减函数，求实数 $ a $ 的取值范围.
点评：
本题与教材习题形式、结构、考点完全相同，考查利用分段函数的单调性求参数的范围；然后在教材的基础上函数关系式变得复杂，难度高于教材.

答案： $[0, \frac{1}{3}]$

(1)$ y = \dfrac{1 - x}{2x + 5} $;(2)$ y = \dfrac{x^{2} - x}{x^{2} - x + 1} $;(3)$ y = \dfrac{3\sin x + 1}{2\cos x + 3} $.

答案： 典例 1 解：
(1)法一：(分离常数法)因为$y=\frac{1-x}{2x+5}=\frac{-\frac{1}{2}(2x+5)+\frac{7}{2}}{2x+5}=-\frac{1}{2}+\frac{\frac{7}{2}}{2x+5}$；
因为$\frac{\frac{7}{2}}{2x+5}\neq0$，所以$y\neq-\frac{1}{2}$。
所以函数$y=\frac{1-x}{2x+5}$的值域为$\{y|y\neq-\frac{1}{2}\}$。
法二：(反解法)由题意知，$x\neq-\frac{5}{2}$，则$x=\frac{1-5y}{2y+1}$。
所以$\begin{cases}\frac{1-5y}{2y+1}\neq-\frac{5}{2}\\2y + 1\neq0\end{cases}$，所以$y\neq-\frac{1}{2}$。
所以函数$y=\frac{1-x}{2x+5}$的值域为$\{y|y\neq-\frac{1}{2}\}$。
(2)法一：(判别式法)因为$x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$，
所以这个函数定义域为$\mathbf{R}$。整理函数得$y(x^{2}-x+1)=x^{2}-x$，
即$(y - 1)x^{2}-(y - 1)x+y=0$。
当$y = 1$时，方程无解；当$y\neq1$时，所求函数的值域需要使得方程有解，
即$\Delta=(y - 1)^{2}-4y(y - 1)\geqslant0$，解得$-\frac{1}{3}\leqslant y＜1$。
所以函数$y=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-x+1}$的值域为$\left[-\frac{1}{3},1\right)$。
法二：(分离常数法)由已知$y=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-x+1}=\frac{x^{2}-x+1 - 1}{x^{2}-x+1}=1-\frac{1}{x^{2}-x+1}=1-\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}\in\left[-\frac{1}{3},1\right)$。
(3)(三角函数的有界性)因为$-1\leqslant\cos x\leqslant1$，所以$2\cos x + 3\neq0$，
所以$2y\cos x-3\sin x = 1 - 3y$，可得$\sqrt{4y^{2}+9}\cos(x+\theta)=1 - 3y$，
所以$\cos(x+\theta)=\frac{1 - 3y}{\sqrt{4y^{2}+9}}$，因为$\left|\frac{1 - 3y}{\sqrt{4y^{2}+9}}\right|\leqslant1$，所以$(1 - 3y)^{2}\leqslant(\sqrt{4y^{2}+9})^{2}$。
整理得$5y^{2}-6y - 8\leqslant0$，所以$y\in\left[-\frac{4}{5},2\right]$。

(1)$ y = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $;(2)$ y = \dfrac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} $;(3)$ y = \dfrac{\sin x}{\cos x - 2} $.

答案：
对点练 1 解：
(1)由已知得$y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1 - 2}{x^{2}+1}=1-\frac{2}{x^{2}+1}$，$x^{2}+1\geqslant1$，
$0＜\frac{2}{x^{2}+1}\leqslant2$，所以$-2\leqslant-\frac{2}{x^{2}+1}＜0$。
所以函数$y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$的值域为$[-1,1)$。
(2)函数定义域为$\mathbf{R}$，$y(e^{x}+1)=e^{x}-1$，$e^{x}(y - 1)=-y - 1$。
当$y = 1$时方程不成立，所以$y\neq1$。
当$y\neq1$时，$e^{x}=\frac{1 + y}{1 - y}$。因为$e^{x}＞0$，即$\frac{1+y}{1 - y}＞0$，解得$-1＜y＜1$。
所以函数$y=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$的值域是$(-1,1)$。
(3)$\frac{\sin x}{\cos x - 2}$可看作$P_1(\cos x,\sin x)$，$P_2(2,0)$两点连线的斜率，
令$k=\frac{\sin x - 0}{\cos x - 2}$，即所求函数值域转化为求$k$的取值范围，借助图形：

$k_{l_1}=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$k_{l_2}=\tan150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
所以函数$y=\frac{\sin x}{\cos x - 2}$的值域是$\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$。