《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (2024·北京朝阳高三专题练习)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术。图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花。图②中正六边形$ABCDEF$的边长为$4$，圆$O$的圆心为该正六边形的中心，圆$O$的半径为$2$，圆$O$的直径$MN // CD$，点$P$在正六边形的边上运动，则$\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PN}$的最小值为(D)


A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案：
对点练2.
(1)D
(1)如图所示,由正六边形的几何性质可知$,\triangle OAB,\triangle OBC,\triangle OCD,\triangle ODE,\triangle OEF,\triangle OFA$均为边长为4的等边三角形.当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时,|$\overrightarrow{PO}$|取最大值4,当点P为正六边形各边的中点时,|$\overrightarrow{PO}$|取最小值,即|$\overrightarrow{PO}$|$_{min} = \sqrt{3} × 4 = 2\sqrt{3},$所以|$\overrightarrow{PO}$|$ \in [2\sqrt{3},4].$所以$\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PN} = (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OM}) · (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{ON}) = (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OM}) · (\overrightarrow{PO} - \overrightarrow{OM}) = \overrightarrow{PO}^{2} - 4 \in [8,12],$故$\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PN}$的最小值为8.故选D.
　　　　　　　　　　　　　　

2. (一题多解)在边长为$3$的正方形$ABCD$中，以点$A$为圆心作单位圆，分别交$AB$，$AD$于$E$，$F$两点，点$P$是劣弧$\widehat{EF}$上一点，则$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PD}$的取值范围为$[1 - 3\sqrt{2}, - 2]$。

答案：
对点练$2 (2)[1 - 3\sqrt{2}, - 2] (2)$法一：连接BD,设M为BD的中点,连接PM(图略),由极化恒等式得$,\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PD} = \overrightarrow{PM}^{2} - \overrightarrow{BM}^{2}.$由已知得,|$\overrightarrow{BM}$|$ = \frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BD}$|$ = \frac{3\sqrt{2}}{2},$|$\overrightarrow{AM}$| - |$\overrightarrow{EM}$|$ \leq $|$\overrightarrow{PM}$|$ \leq $|$\overrightarrow{AM}$|.在$\triangle BEM$中,由余弦定理得,|$\overrightarrow{EM}$|$^{2} = BE^{2} + BM^{2} - 2 · BE · BM\cos45^{\circ} = 4 + \frac{9}{2} - 2 × 2 × \frac{3\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2},$即$\frac{3\sqrt{2}}{2} - 1 \leq $|$\overrightarrow{PM}$|$ \leq \frac{\sqrt{10}}{2},$所以$\overrightarrow{PM}^{2} - \overrightarrow{BM}^{2} = \overrightarrow{PM}^{2} - \frac{9}{2} \in [1 - 3\sqrt{2}, - 2],$即$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PD} \in [1 - 3\sqrt{2}, - 2].$
法二：根据题意画出图形,并建立平面直角坐标系,如图,由题意可知A(0,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3).设点$P(\cos\theta,\sin\theta)(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}).$
则$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PD} = (3 - \cos\theta, - \sin\theta) · ( - \cos\theta,3 - \sin\theta) = 1 - 3\sin\theta - 3\cos\theta = 1 - 3\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}).$又$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},$所以$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4},$所以$\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq 1,$所以$1 - 3\sqrt{2} \leq 1 - 3\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq - 2,$即$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PD}$的取值范围为$[1 - 3\sqrt{2}, - 2].$
　　　　　　　　　　　　　　

3. (2025·安徽池州模拟)莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形$ABC$的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知$A$，$B$两点间的距离为$2$，点$P$为$\widehat{AB}$上的一点，则$\overrightarrow{PA} · (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC})$的最小值为$10 - 4\sqrt{7}$。

答案：
对点练$2 (3)10 - 4\sqrt{7} (3)$如图,设D为BC的中点,连接AD,E为AD的中点,连接PD,PE,CE,则$\overrightarrow{PA} · (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = 2\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PD} = 2(\overrightarrow{PE} + \overrightarrow{EA}) · (\overrightarrow{PE} + \overrightarrow{ED}) = 2(\overrightarrow{PE}^{2} - \overrightarrow{EA}^{2}).$在正三角形ABC中$,AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3},$所以$AE = DE = \frac{\sqrt{3}}{2},$所以$\overrightarrow{PA} · (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = 2\overrightarrow{PE}^{2} - \frac{3}{2}.$因为$CE = \sqrt{CD^{2} + DE^{2}} = \sqrt{1^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2},$所以|$\overrightarrow{PE}$|$_{min} = 2 - $|$\overrightarrow{CE}$|$ = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2},$所以$\overrightarrow{PA} · (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC})$的最小值为$2\overrightarrow{PE}^{2} - \frac{3}{2} = 2 × (2 - \frac{\sqrt{7}}{2})^{2} - \frac{3}{2} = 10 - 4\sqrt{7}.$
　　　　　　　　　　　　　　　

1.复数的有关概念
(1)复数的定义:形如a十bi(其中a,b∈R)的数叫作
复数，通常用字母N表示,即z=a+bi(a,b∈R),其
中a称为复数N的实部,记作Rez,b称为复
数N的虚部,记作Imz,i叫作虚数单位.
(2)复数的分类:复数z=a+bi(a,b∈R)
实数(b=0);
{
虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
(3)复数相等:a十bi=c+dina=c且b=d(a,b,c,
dER).
(4)共轭复数:a十bi与c+di互为共轭复数n一
a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)复数的模:向量OZ的模称为复数z=a+bi(a,b
∈R)的模，记作|z|或∣a+bi∣,即|z|=|a+bi|
=$\sqrt{a^2+b^2}$(a,bER).

答案： 1.
(1)$a \quad b$
(2)= $\neq$ =
(3)$a=c$且$b=d$
(4)$a=c,b=-d$
(5)$|z|$ $\vert a+bi\vert$ $\sqrt{a^2+b^2}$