《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列关于空间向量的命题中，正确的有(ACD)

A.若向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$与空间任意向量都不能构成一组基，则$\boldsymbol{a}// \boldsymbol{b}$
B.若非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}\perp \boldsymbol{c}$，则有$\boldsymbol{a}// \boldsymbol{c}$
C.若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$是空间的一组基，且$\overrightarrow{OD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，则$A$，$B$，$C$，$D$四点共面
D.若向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}$是空间的一组基，则$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$也是空间的一组基

答案： 1.ACD

2. (链接北师选择性必修一 P106T3)如图，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M$为$A_{1}C_{1}$与$B_{1}D_{1}$的交点. 若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则下列向量中与$\overrightarrow{BM}$相等的向量是(A)


A.$-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}+\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
B.$\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}+\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
C.$-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
D.$\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$

答案： 2.A 由题意，根据向量的几何运算法则，$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1M}=\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$.故选A.

3. (链接北师选择性必修一 P118T8)在空间直角坐标系中，已知$A(1,2,3)$，$B(-2,-1,6)$，$C(3,2,1)$，$D(4,3,0)$，则直线$AB$与$CD$的位置关系是(B)

A.垂直
B.平行
C.异面
D.相交但不垂直

答案： 3.B 由题意得，$\overrightarrow{AB}=(-3,-3,3),\overrightarrow{CD}=(1,1,-1)$.所以$\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$共线，又$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$没有公共点，所以$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$.故选B.

4. (链接北师选择性必修一 P126T1)设直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(-2,2,1)$，$\boldsymbol{b}=(3,-2,m)$，若$l_{1}\perp l_{2}$，则$m=$10.

答案： 4.10 因为$l_1\perp l_2$，所以$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$.所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-6 - 4 + m = 0$，所以$m = 10$.