《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 2(2025·河南南阳模拟)不等式 $(a - 2)x^{2}+2(a - 2)x - 4＜0$ 对 $x\in\mathbf{R}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 (C)

A.$(-\infty,2]$
B.$(-\infty,-2)$
C.$(-2,2]$
D.$(-2,2)$

答案： 典例2 C 当a-2=0，即a=2时，-4＜0恒成立，当$a-2\neq0$时，因为$(a-2)x^{2}+2(a-2)x-4＜0$对$x\in R$恒成立，所以$\begin{cases} a-2＜0, \\ 4(a-2)^{2}+16(a-2)＜0. \end{cases}$解得-2＜a＜2.综上，$-2＜a\leq2，$即实数a的取值范围为(-2,2].故选C.

典例 3 已知不等式 $ax^{2}+bx + c＞0$ 的解集为 $\{x\mid - 2＜x＜3\}$，且对于 $\forall x\in[1,5]$，不等式 $bx^{2}+amx + 2c＞0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 (B)

A.$(-\infty,4\sqrt{3}]$
B.$(-\infty,4\sqrt{3})$
C.$(13,+\infty)$
D.$(-\infty,13)$

答案： 典例3 B 由不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为\{$x\mid -2$＜x＜3\}，可知-2,3为方程ax^{2}+bx+c=0的两个根，且a＜0.故-\frac{b}{a}=-2+3=1，\frac{c}{a}=(-2)×3=-6，即b=-a,c=-6a，则不等式bx^{2}+amx+2c＞0变为$-ax^{2}+amx-12a＞0，$由于a＜0,x\in[1,5]，则上式可转化为m＜x+\frac{12}{x}在$x\in[1,5]$上恒成立，又$x+\frac{12}{x}\geq2\sqrt{x·\frac{12}{x}}=4\sqrt{3}，$当且仅当$x=2\sqrt{3}$时等号成立，故m＜4\sqrt{3}，所以实数m的取值范围为$(-\infty,4\sqrt{3}).$故选B.

典例 4(1)(2025·江西九江期末)若命题“$\exists a\in[1,3]$，$ax^{2}+(a - 2)x - 2＞0$”是假命题，则 $x$ 不能等于 (D)

A.$-1$
B.$0$
C.$0.5$
D.$1$

答案： 典例4
(1)D
(1)根据题意，知原命题的否定$“\forall a\in[1,3],ax^{2}+(a-2)x-2\leq0”$为真命题.令$f(a)=(x^{2}+x)a-2x-2，$故$\begin{cases} f(1)=x^{2}-x-2\leq0, \\ f(3)=3(x^{2}+x)-2x-2\leq0. \end{cases}$解得$-1\leq x\leq\frac{2}{3}.$故选D.

(2)(2025·八省适应性测试)已知函数 $f(x)=x|x - a|-2a^{2}$，若当 $x＞2$ 时，$f(x)＞0$，则实数 $a$ 的取值范围是 (B)

A.$(-\infty,1]$
B.$[-2,1]$
C.$[-1,2]$
D.$[-1,+\infty)$

答案：
(2)B 当a＞2，x＞2时，$f(x)=x\mid x-a\mid -2a^{2}=\begin{cases} x^{2}-ax-2a^{2},x\geq a, \\ -x^{2}+ax-2a^{2},2$＜x＜a. \end{cases}当x＞a时，$f(x)=-x^{2}+ax-2a^{2}，$此$\Delta=a^{2}-4×2a^{2}=-7a^{2}$＜0，所以f(x)＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意.当0＜a\leq2，x＞2时，$f(x)=x\mid x-a\mid -2a^{2}=x^{2}-ax-2a^{2}=(x-2a)(x+a)＞0，$解得x＞2a，由于x＞2时，f(x)＞0，故$2a\leq2，$解得0＜a\leq1.当a=0，x＞2时，$f(x)=x^{2}＞0$恒成立，符合题意.当a＜0，x＞2时，$f(x)=x^{2}-ax-2a^{2}=(x-2a)(x+a)＞0，$解得x＞-a，由于x＞2时，f(x)＞0，故$-a\leq2，$解得$-2\leq a＜0.$综上$-2\leq a\leq1.$故选B.

(1)是否存在实数 $m$，使不等式对任意 $x\in\mathbf{R}$ 恒成立？请说明理由。

答案：
(1)原不等式等价于$mx^{2}-2x+(1-m)＜0，$
当m=0时，-2x+1＜0不恒成立；
当$m\neq0$时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且$\Delta=4-4m(1-m)＜0，$无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立.

(2)若不等式对任意 $x\in[0,1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

答案：
(2)令$f(x)=mx^{2}-2x-m+1.$
当m＞0时，$\begin{cases} f(0)=-m+1$＜0, \\ f
(1)=m-2-m+1＜0. \end{cases}解得m＞1；
当m=0时，-2x+1＜0在[0,1]上不恒成立；
当m＜0时，因为二次函数图象的对称轴为直线x=\frac{1}{m}，抛物线开口向下，所以只需f
(0)=-m+1＜0，解得m＞1.矛盾.
综上，实数m的取值范围为$(1,+\infty).$

(3)对于 $m\in[-2,2]$，不等式恒成立，求实数 $x$ 的取值范围。

答案：
(3)利用转换主元法，设$g(m)=(x^{2}-1)m-(2x-1).$
若$m\in[-2,2]$时，g(m)＜0恒成立，则$\begin{cases} g(2)＜0, \\ g(-2)＜0. \end{cases}$即$\begin{cases} 2x^{2}-2x-1＜0, \\ -2x^{2}-2x+3＜0. \end{cases}$
解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
所以实数x的取值范围为$(\frac{-1+\sqrt{7}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}).$

(4)若不等式在 $[2,3]$ 上有解，求实数 $m$ 的取值范围。

答案：
(4)因为$x\in[2,3]，$不等式可整理为m＜\frac{2x-1}{x^{2}-1}，即m＜(\frac{2x-1}{x^{2}-1})_{\max}
设$2x-1=t\in[3,5]，$则$x^{2}-1=\frac{t^{2}+2t-3}{4}$
所以m＜(\frac{2x-1}{x^{2}-1})_{\max}=(\frac{4t}{t^{2}+2t-3})_{\max}=\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}_{\max}
因为函数y=t和函数$y=-\frac{3}{t}$在[3,5]上均为增函数，所以函数$y=t-\frac{3}{t}+2$在[3,5]上为增函数，则函数$y=\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}$在[3,5]上为减函数，所以m＜\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}_{\max}=1.故实数m的取值范围为$(-\infty,1).$