《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (一题多解)如图，在等腰梯形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$交于点$P$，点$E$，$F$分别在两腰$AD$，$BC$上，$EF$过点$P$，且$EF// AB$，则下列等式中成立的是(D)


A.$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
B.$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$
C.$\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{PF}$
D.$\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{PF}$

答案： 2.D 法一：(排除法)$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$不共线，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$不共线，故A、B错误；$\overrightarrow{PE}$，$\overrightarrow{PF}$方向相反，故C错误.故选D. 法二：在等腰梯形ABCD中，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$不平行，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$不平行，故A、B错误；因为AB//CD，所以$\frac{PD}{PB}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{PC}{PA}$，所以$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PA}{PC}$，则$\frac{PB+PD}{PD}$=$\frac{PA+PC}{PC}$，即$\frac{BD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$，即$\frac{PD}{BD}$=$\frac{PC}{AC}$，因为EF//AB，所以$\frac{PE}{AB}$=$\frac{PD}{BD}$=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PF}{AB}$，所以PE=PF，即P为EF的中点，所以$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{PF}$，故C错误，D正确.故选D.

3. (2024·河南郑州联考)已知四边形$ABCD$，下列说法正确的是(A)

A.若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，则四边形$ABCD$为平行四边形
B.若$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$，则四边形$ABCD$为矩形
C.若$\overrightarrow{AD}//\overrightarrow{BC}$，且$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$，则四边形$ABCD$为矩形
D.若$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$，且$\overrightarrow{AD}//\overrightarrow{BC}$，则四边形$ABCD$为梯形

答案： 3.A 对于A，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，则|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|且$\overrightarrow{AB}$//$\overrightarrow{DC}$，则四边形ABCD为平行四边形，故A正确；对于B，若四边形ABCD为等腰梯形，则|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|，但是四边形ABCD不是矩形，故B错误；对于C，若$\overrightarrow{AD}$//$\overrightarrow{BC}$，且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|，则四边形ABCD可以是等腰梯形，也可以是矩形，故C错误；对于D，若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CD}$|，且$\overrightarrow{AD}$//$\overrightarrow{BC}$，则四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，故D错误.故选A.

典例 1 (1) 若$|\overrightarrow{AB}| = 7$，$|\overrightarrow{AC}| = 4$，则$|\overrightarrow{BC}|$的取值范围是(C)

A.$[3,7]$
B.$(3,7)$
C.$[3,11]$
D.$(3,11)$

答案：
(1)C 由题意知|$\overrightarrow{AB}$|=7，|$\overrightarrow{AC}$|=4，且|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|，当$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$同向时，|$\overrightarrow{BC}$|取得最小值，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=||$\overrightarrow{AC}$|-|$\overrightarrow{AB}$||=|4 - 7|=3；当$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$反向时，|$\overrightarrow{BC}$|取得最大值，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=||$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{AB}$||=|4 + 7|=11；当$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$不共线时，3=||$\overrightarrow{AC}$|-|$\overrightarrow{AB}$||＜|$\overrightarrow{BC}$|＜||$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{AB}$||=11，故|$\overrightarrow{BC}$|的取值范围是[3,11].故选C.

(2) 已知单位向量$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$，$·s$，$\boldsymbol{e}_{2025}$，则$|\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+·s+\boldsymbol{e}_{2025}|$的最大值是2025，最小值是0.

答案：
(2)2025 0 当单位向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$……$\overrightarrow{e_{2025}}$方向相同时，|$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$+……+$\overrightarrow{e_{2025}}$|取得最大值，|$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$+……+$\overrightarrow{e_{2025}}$|=|$\overrightarrow{e_1}$|+|$\overrightarrow{e_2}$|+……+|$\overrightarrow{e_{2025}}$|=2025；当单位向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$……$\overrightarrow{e_{2025}}$首尾相连时，$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$+……+$\overrightarrow{e_{2025}}$=$\overrightarrow{0}$，所以|$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$+……+$\overrightarrow{e_{2025}}$|的最小值为0.

典例 2 (2025·四川成都模拟)在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EA}$，则$\overrightarrow{DE}=$(D)

A.$-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}$
B.$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}$
C.$-\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
D.$\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

答案： D 在△ABC中，由$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，得$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$，由$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{EA}$，得$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$，所以$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{BE}$-$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{3}{4}$($\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$)=$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$.故选D.

典例 3 在$\triangle ABC$中，延长$BC$至点$M$使得$BC = 2CM$，连接$AM$，点$N$为$AM$上一点且$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$，若$\overrightarrow{AN}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda+\mu$等于(A)

A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： A 由题意，知$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$)=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$)=-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，所以λ=-$\frac{1}{6}$，μ=$\frac{1}{2}$，则λ+μ=$\frac{1}{3}$.故选A.

(1) 设非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，则(A)
A. $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$
B. $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$
C. $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
D. $|\boldsymbol{a}|＞|\boldsymbol{b}|$
(2) 点$G$为$\triangle ABC$的重心，设$\overrightarrow{BG}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{AB}$等于(A)
A. $\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}$
B. $\frac{3}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
C. $\frac{3}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
D. $2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
(3) 在$\triangle ABC$中，点$D$在线段$BC$的延长线上，且$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CD}$，点$O$在线段$CD$上(与点$C$，$D$不重合). 若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+(1 - x)\overrightarrow{AC}$，则$x$的取值范围是(D)
A. $(0,\frac{1}{2})$
B. $(0,\frac{1}{3})$
C. $(-\frac{1}{2},0)$
D. $(-\frac{1}{3},0)$

答案：

(1)A
(2)A
(3)D
(1)法一：利用向量加法的平行四边形法则，在□ABCD中，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|知，|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{DB}$|，从而平行四边形ABCD为矩形，即$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AD}$，故$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$.故选A. 法二：因为|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，所以$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$·$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$·$\overrightarrow{b}$，所以$\overrightarrow{a}$·$\overrightarrow{b}$=0，所以$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$.故选A.
(2)如图所示，由题意可知$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{GC}$，故$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{GC}$-2$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$.
(3)依题意，设$\overrightarrow{BO}$=λ$\overrightarrow{BC}$(1＜λ＜$\frac{4}{3}$)，则$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+λ($\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$)=(1 - λ)$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+(1 - x)$\overrightarrow{AC}$，所以x=1 - λ.因为1＜λ＜$\frac{4}{3}$，所以-$\frac{1}{3}$＜1 - λ＜0，即-$\frac{1}{3}$＜x＜0，故x的取值范围为(-$\frac{1}{3}$,0).故选D.

(1) 若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC}=2\boldsymbol{a}+8\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=3(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$. 求证：$A$，$B$，$D$三点共线；

答案： 证明：因为$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+8$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=3($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)，所以$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$+8$\overrightarrow{b}$+3($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)=5($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=5$\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$共线. 又直线AB与BD有公共点B，所以A、B、D三点共线.

(2) 试确定实数$k$，使$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$共线.

答案： 因为k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$共线，所以存在实数λ，使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ($\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$)，即$\begin{cases}k = \lambda,\\1 = \lambda k.\end{cases}$解得k=±1.即k=±1时，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$共线.