《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

真题再现 (2020·全国Ⅲ卷)设$a=\log_{3}2$，$b=\log_{5}3$，$c=\frac{2}{3}$，则(A)

A.$a＜c＜b$
B.$a＜b＜c$
C.$b＜c＜a$
D.$c＜a＜b$

答案： 真题再现 A 因为$\frac{3}{2}a=\frac{3}{2}\log_{5}2=\log_{5}2^{3}=\log_{5}8＜1$，所以$a＜\frac{2}{3}$.因为$\frac{3}{2}b=\frac{3}{2}\log_{5}3=\log_{5}3^{3}=\log_{5}27＞1$，所以$b＞\frac{2}{3}$.又$c=\frac{2}{3}$，所以$a＜c＜b$.故选A.

教材呈现 （北师必修一P128C组T3）已知$x=\ln\pi$，$y=\log_{5}2$，$z=e^{-\frac{1}{2}}$.
（1）比较$x$，$y$的大小；
（2）比较$y$，$z$的大小.
点评：本题是教材习题的拓展，由于对数式的底数不同，不能直接利用单调性，需适当变形后再比较大小，变形过程中利用了对数函数的单调性，是高考试题源于课本的典例.

答案： （1）因为$ x = \ln\pi $，且$ \pi ＞ e $，对数函数$ y = \ln x $在$ (0,+\infty) $上单调递增，所以$ \ln\pi ＞ \ln e = 1 $，即$ x ＞ 1 $。
因为$ y = \log_{5}2 $，且$ 2 ＜ \sqrt{5} $，对数函数$ y = \log_{5}x $在$ (0,+\infty) $上单调递增，所以$ \log_{5}2 ＜ \log_{5}\sqrt{5} = \frac{1}{2} $，即$ y ＜ \frac{1}{2} $。
综上，$ x ＞ 1 ＞ \frac{1}{2} ＞ y $，故$ x ＞ y $。
（2）因为$ y = \log_{5}2 $，且$ 2 ＜ \sqrt{5} $，所以$ \log_{5}2 ＜ \log_{5}\sqrt{5} = \frac{1}{2} $，即$ y ＜ \frac{1}{2} $。
因为$ z = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} $，且$ e ＜ 4 $，所以$ \sqrt{e} ＜ 2 $，故$ \frac{1}{\sqrt{e}} ＞ \frac{1}{2} $，即$ z ＞ \frac{1}{2} $。
综上，$ y ＜ \frac{1}{2} ＜ z $，故$ y ＜ z $。
（1）$ x ＞ y $；（2）$ y ＜ z $

典例 1 (1)(2024·天津卷)若 $a = 4.2^{-0.3}$，$b = 4.2^{0.3}$，$c = \log_{4.2}0.2$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为(B)

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$c ＞ a ＞ b$
D.$b ＞ c ＞ a$

答案：
(1)由函数$y = 4.2^{x}$单调递增可知，$0 ＜ a ＜ 1 ＜ b$，又$c = \log_{4.2}0.2 ＜ 0$，故$b ＞ a ＞ c$，故选B。

(2)(2024·北京卷)已知 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ 是函数 $y = 2^x$ 的图象上两个不同的点，则 (B)

A.$\log_2\frac{y_1 + y_2}{2} ＜ \frac{x_1 + x_2}{2}$
B.$\log_2\frac{y_1 + y_2}{2} ＞ \frac{x_1 + x_2}{2}$
C.$\log_2\frac{y_1 + y_2}{2} ＜ x_1 + x_2$
D.$\log_2\frac{y_1 + y_2}{2} ＞ x_1 + x_2$

答案：
(2)因为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$为函数$y = 2^{x}$的图象上两个不同的点，所以$y_1 = 2^{x_1}$，$y_2 = 2^{x_2}$，且$x_1\neq x_2$，则$2^{x_1}\neq2^{x_2}$，所以$y_1 + y_2 = 2^{x_1} + 2^{x_2} ＞ 2\sqrt{2^{x_1}·2^{x_2}} = 2\sqrt{2^{x_1 + x_2}}$，所以$\frac{y_1 + y_2}{2} ＞ \sqrt{2^{x_1 + x_2}} ＞ 0$，所以$\log_{2}\frac{y_1 + y_2}{2} ＞ \log_{2}\sqrt{2^{x_1 + x_2}} = \frac{x_1 + x_2}{2}$。故选B。

典例 2 (1)(2025·河南郑州模拟)已知 $a = \log_511$，$b = \log_2\sqrt{8}$，$c = \sqrt{e}$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为 (D)

A.$a ＜ c ＜ b$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$a ＜ b ＜ c$

答案：
(1)由对数函数的运算性质，可得$a = \log_{5}11 = \log_{5}\sqrt{121} ＜ \log_{5}\sqrt{125} = \frac{3}{2}$，$b = \log_{2}\sqrt{8} = \frac{1}{2}\log_{2}8 = \frac{3}{2}$，$c = \sqrt{e} ＞ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$，所以$a ＜ b ＜ c$。故选D。

(2)(2025·天津南开二模)已知 $a = 2^{0.2}$，$b = 1 - 2\lg2$，$c = 2 - \log_310$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系是(B)

A.$b ＞ c ＞ a$
B.$a ＞ b ＞ c$
C.$a ＞ c ＞ b$
D.$b ＞ a ＞ c$

答案：
(2)由题意可得$a = 2^{0.2} ＞ 2^{0} = 1$，$b = 1 - 2\lg2 = 1 - \lg4$，且$0 ＜ \lg4 ＜ 1$，则$0 ＜ b ＜ 1$。因为$\log_{3}10 ＞ \log_{3}9 = 2$，则$c = 2 - \log_{3}10 ＜ 0$，所以$a ＞ b ＞ c$。故选B。

典例 3 已知 $a ＞ b ＞ 1$，$0 ＜ c ＜ \frac{1}{2}$，则下列结论正确的是 (C)

A.$a^c ＜ b^c$
B.$ab^c ＜ ba^c$
C.$a\log_bc ＜ b\log_ac$
D.$\log_ac ＜ \log_bc$

答案： 取特殊值，令$a = 4$，$b = 2$，$c = \frac{1}{4}$，则$a^{c} = 4^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{4}$，$b^{c} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$，所以$a^{c} ＞ b^{c}$，故A错误；$ab^{c} = 4×2^{\frac{1}{4}} = 2^{2 + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{9}{4}}$，$ba^{c} = 2×4^{\frac{1}{4}} = 2×2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$，所以$ab^{c} ＞ ba^{c}$，故B错误；$\log_{b}c = \log_{2}\frac{1}{4} = - 2$，$\log_{c}b = \log_{\frac{1}{4}}2 = - \frac{1}{2}$，$a\log_{b}c = - 8$，$b\log_{c}b = - 2$，所以$a\log_{b}c ＜ b\log_{c}b$，$\log_{b}c ＜ \log_{c}b$，故C正确，D错误。故选C。