《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题) 下列说法中正确的是 (BD)

A.极值点处的导数值为 $0$
B.可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
C.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
D.如果函数 $f(x)$ 的定义域为 $(a,c)$，且 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上递减，在 $[b,c)$ 上递增，则 $f(x)$ 的最小值为 $f(b)$

答案： 1.BD

2. (链接北师选择性必修二 P80 例 2，改编) 如图是 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 的图象，则 $f(x)$ 的极小值点的个数为 (A)


A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 2.A 由题意知，只有在x=-1处，$f^\prime(-1)=0，$且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.故选A.

3. (链接北师选择性必修二 P81 例 3，改编) 函数 $f(x)=2x - x\ln x$ 的极大值是 (C)

A.$\frac{1}{e}$
B.$\frac{2}{e}$
C.$e$
D.$e^2$

答案： $3.C f^\prime(x)=2-(\ln x + 1)=1-\ln x.$令$f^\prime(x)=0，$得x=e.当0＜x＜e时，f^\prime(x)＞0；当x＞e时，$f^\prime(x)＜0.$所以x=e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值=f(e)=e.故选C.

4. (链接北师选择性必修二 P82 例 4，改编) 函数 $y = \frac{x}{e^x}$ 在 $[0,2]$ 上的最小值是 (D)

A.$\frac{1}{e}$
B.$\frac{2}{e^2}$
C.$\frac{1}{2\sqrt{e}}$
D.$0$

答案： 4.D 因为$y=\frac{e^x - x}{e^x}，$所以$y^\prime=\frac{e^x - xe^x - (e^x - x)e^x}{(e^x)^2}=\frac{1 - x}{e^x}，$当x∈[0,1]时，$y^\prime≥0，$函数单调递增；当x∈(1,2]时，$y^\prime＜0，$函数单调递减；所以当x=0时，函数值为0，当x=2时，函数值为$\frac{2}{e^2}，$所以其最小值为0.故选D.

1. (2025·江西赣州期末) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ 且导函数为 $f'(x)$，函数 $y = xf'(x)$ 的图象如图，则下列说法正确的是 (C)


A.函数 $f(x)$ 的增区间是 $(-2,0)$，$(2,+\infty)$
B.函数 $f(x)$ 的减区间是 $(-\infty,-2)$，$(2,+\infty)$
C.$x = -2$ 是函数的极大值点
D.$x = 2$ 是函数的极大值点

答案： 1.C 根据$y=xf^\prime(x)$的图象可知：当x＜-2时，f^\prime(x)＞0；-2＜x＜0时，f^\prime(x)＜0；当0＜x＜2时，f^\prime(x)＜0；当x＞2时，$f^\prime(x)＞0.$所以f(x)在(-∞,-2)，(2,+∞)上单调递增，在(-2,0)，(0,2)上单调递减.因此函数f(x)在x=2时取得极小值，在x=-2时取得极大值.故A、B、D错误，C正确.故选C.

2. (多选题) (2024·广东珠海检测) 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，它的导函数 $y = f'(x)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 (AD)

A.$f(-2) ＞ f(-1)$
B.$x = 1$ 是 $f(x)$ 的极小值点
C.函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上有极大值
D.$x = -3$ 是 $f(x)$ 的极大值点

答案： 2.AD 由$y=f^\prime(x)$的图象可知：当x∈(-∞,-3)时，$f^\prime(x)＞0，$所以函数f(x)单调递增；当x∈(-3,-1)时，$f^\prime(x)$＜0，所以函数f(x)单调递减，因此有f(-2)＞f(-1)，x=-3是f(x)的极大值点，故A、D正确；当x∈(-1,1)，或x∈(1,+∞)时，$f^\prime(x)＞0，$所以函数f(x)在(-1,1)和(1,+∞)上单调递增，因此函数f(x)在(-1,1)上没有极大值，且x=1不是f(x)的极小值点，故B、C不正确.故选AD.

(1) 当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f(x)$ 的极值；

答案：
(1)当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)=\ln x - \frac{1}{2}x，$函数的定义域为(0,+∞)且$f^\prime(x)=\frac{1}{x} - \frac{1}{2}=\frac{2 - x}{2x}，$令$f^\prime(x)=0，$得x=2，于是当x变化时，$f^\prime(x)，$f(x)的变化情况如下表：
x (0,2) 2 (2,+∞)
$f^\prime(x) + 0 -$
f(x) ↗
$\ln 2 - 1 ↘$
故f(x)在定义域上的极大值为$f(2)=\ln 2 - 1，$无极小值.

(2) 讨论函数 $f(x)$ 在定义域内极值点的个数.

答案：
(2)由
(1)知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，$f^\prime(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1 - ax}{x}$
当a≤0时，$f^\prime(x)＞0$在(0,+∞)上恒成立，则函数在(0,+∞)上单调递增，此时函数在定义域内无极值点；
当a＞0时，若$x∈(0,\frac{1}{a})，$则$f^\prime(x)＞0，$若$x∈(\frac{1}{a},+∞)，$则$f^\prime(x)＜0，$故函数在$x=\frac{1}{a}$处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，当a＞0时，函数y=f(x)只有一个极大值点，且为$x=\frac{1}{a}，$无极小值点.