《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. (链接北师必修二 P231 例 4)如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$为$DD_1$的中点，则$BD_1$与平面$ACE$的位置关系为平行。

答案： 3.平行 连接$BD$，设$AC \cap BD = O$，连接$OE$（图略），则$OE // BD$，又因为$OE \subset$平面$ACE$，$BD \not\subset$平面$ACE$，所以$BD //$平面$ACE$.

4. (链接北师必修二 P232 例 5)如图，平面$\alpha//\beta$，$\triangle PAB$所在的平面与$\alpha$，$\beta$分别交于$CD$，$AB$，若$PC = 2$，$CA = 3$，$CD = 1$，则$AB =$$\frac{5}{2}$。

答案： 4.$\frac{5}{2}$ 由题意知$\frac{PC}{PA} = \frac{CD}{AB}$，所以$AB = \frac{PA × CD}{PC} = \frac{5 × 1}{2} = \frac{5}{2}$.

(1)$PB//$平面$ACF$；

答案：

(1)证明：如图，连接$BD$交$AC$于$O$，连接$OF$，因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$O$是$BD$的中点，又因为$F$是$PD$的中点，所以$OF // PB$，又因为$OF \subset$平面$ACF$，$PB \not\subset$平面$ACF$，所以$PB //$平面$ACF$.

(2)$EF//$平面$PAB$。

答案：
(2)取$PA$的中点$G$，连接$GF$，$BG$.因为$F$是$PD$的中点，所以$GF$是$\triangle PAD$的中位线，所以$GF = \frac{1}{2}AD$，因为底面$ABCD$是平行四边形，$E$是$BC$的中点，所以$BE = \frac{1}{2}AD$，所以$GF // BE$，所以四边形$BEFG$是平行四边形，所以$EF // BG$，又因为$EF \not\subset$平面$PAB$，$BG \subset$平面$PAB$，所以$EF //$平面$PAB$.

如图所示，已知四边形$ABCD$是正方形，四边形$ACEF$是矩形，$M$是线段$EF$的中点。
(1) 求证：$AM//$平面$BDE$；
(2) 若平面$ADM\cap$平面$BDE = l$，平面$ABM\cap$平面$BDE = m$，试分析$l$与$m$的位置关系，并证明你的结论。

答案：
解：
(1)证明：如图，记$AC$与$BD$的交点为$O$，连接$OE$，因为$O$,$M$分别为$AC$,$EF$的中点，四边形$ACEF$是矩形，所以四边形$AOEM$是平行四边形，所以$AM // OE$，又因为$OE \subset$平面$BDE$，$AM \not\subset$平面$BDE$，所以$AM //$平面$BDE$.
(2)$l // m$，证明如下：由
(1)知$AM //$平面$BDE$，又$AM \subset$平面$ADM$，平面$ADM \cap$平面$BDE = l$，所以$l // AM$，同理，$AM //$平面$BDE$，又$AM \subset$平面$ABM$，平面$ABM \cap$平面$BDE = m$，所以$m // AM$，所以$l // m$.