《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师选择性必修一 P71 练习 T2)抛物线 $ x^{2}=\frac{1}{4}y $ 的准线方程为(A)

A.$ y = -\frac{1}{16} $
B.$ x = -\frac{1}{16} $
C.$ y = \frac{1}{16} $
D.$ x = \frac{1}{16} $

答案： 2.A 由抛物线的标准方程可得,抛物线的焦点位于y轴正半轴上,焦点坐标为$(0,\frac{1}{16})$,准线方程为$y=-\frac{1}{16}$.故选A.

3. (2020·全国Ⅰ卷)已知 $ A $ 为抛物线 $ C:y^{2}=2px(p＞0) $ 上一点，点 $ A $ 到 $ C $ 的焦点的距离为 12，到 $ y $ 轴的距离为 9，则 $ p = $(C)

A.2
B.3
C.6
D.9

答案： 3.C 根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线$x=-\frac{p}{2}$的距离为12,因为点A到y轴的距离为9,所以$\frac{p}{2}=12 - 9$,解得$p = 6$.故选C.

4. （链接北师选择性必修一 P73 练习 T1）顶点在原点，且过点 $ P(-2,3) $ 的抛物线的标准方程是$y^{2}=-\frac{9}{2}x$或$x^{2}=\frac{4}{3}y$.

答案： 4.$y^{2}=-\frac{9}{2}x$或$x^{2}=\frac{4}{3}y$ 设抛物线的方程是$y^{2}=kx$或$x^{2}=my$,代入点$P(-2,3)$,解得$k=-\frac{9}{2},m=\frac{4}{3}$,所以$y^{2}=-\frac{9}{2}x$或$x^{2}=\frac{4}{3}y$.

(1)(2023·北京卷)已知抛物线 $ C:y^{2}=8x $ 的焦点为 $ F $，点 $ M $ 在 $ C $ 上. 若 $ M $ 到直线 $ x = -3 $ 的距离为 5，则 $ |MF| = $(D)

A.7
B.6
C.5
D.4

答案：
(1)D 因为抛物线$C:y^{2}=8x$的焦点$F(2,0)$,准线方程为$x = - 2$,点M在C上,所以M到准线$x = - 2$的距离为$|MF|$,又M到直线$x = - 3$的距离为5,所以$|MF| + 1 = 5$,故$|MF| = 4$.故选D.

(2)(一题多变)设 $ P $ 是抛物线 $ y^{2}=4x $ 上的一个动点，若 $ B(3,2) $，$ F $ 为焦点，则 $ |PB| + |PF| $ 的最小值为4.

答案：

(2)4 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点$P_{1}$,则$|P_{1}Q|=|P_{1}F|$.则有$|PB|+|PF|\geq|P_{1}B|+|P_{1}Q|=|BQ| = 4$,即$|PB|+|PF|$的最小值为4.

[变式探究]

答案： 答案略

1. (变条件)若将本例(2)中的 $ B $ 点坐标改为 $ (3,4) $，则 $ |PB| + |PF| $ 的最小值为$2\sqrt{5}$.

答案： 1.$2\sqrt{5}$ 由题意可知,点$(3,4)$在抛物线的外部,所以$|PB|+|PF|$的最小值即为B,F两点间的距离,即$|PB|+|PF|\geq|BF|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=2\sqrt{5}$,即$|PB|+|PF|$的最小值为$2\sqrt{5}$.

2. (变设问)若本例(2)条件不变，则点 $ P $ 到点 $ A(-1,1) $ 的距离与点 $ P $ 到直线 $ x = -1 $ 的距离之和的最小值为$\sqrt{5}$.

答案：
2.$\sqrt{5}$ 如图,易知抛物线的焦点为$F(1,0)$,准线是$x = - 1$,由抛物线的定义知,点P到准线$x = - 1$的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到点$A(-1,1)$的距离与点P到点$F(1,0)$的距离之和最小,显然,连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点,此时最小值为$\sqrt{[1-(-1)]^{2}+(0 - 1)^{2}}=\sqrt{5}$.

3. (变设问)若本例(2)条件不变，$ P $ 是抛物线上任意一点，则 $ P $ 到准线 $ l $ 的距离与 $ P $ 到直线 $ 3x + 4y + 7 = 0 $ 的距离之和的最小值是2.

答案： 3.2 由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,由抛物线$y^{2}=4x$及直线方程$3x + 4y + 7 = 0$可得直线与抛物线相离.所以点P到准线l的距离与点P到直线$3x + 4y + 7 = 0$的距离之和的最小值为点$F(1,0)$到直线$3x + 4y + 7 = 0$的距离,即$\frac{|3 + 7|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=2$.

(1)(2024·上海卷)已知抛物线 $ y^{2}=4x $ 上有一点 $ P $ 到准线的距离为 9，那么点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为$4\sqrt{2}$.
(2)(2025·四川成都名校联考二)已知点 $ F(0,4) $ 是抛物线 $ C:x^{2}=2py(p＞0) $ 的焦点，点 $ P(2,3) $，且点 $ M $ 为抛物线 $ C $ 上任意一点，则 $ |MF| + |MP| $ 的最小值为7.

答案：

(1)$4\sqrt{2}$
(2)7
(1)由$y^{2}=4x$知抛物线的准线方程为$x = -1$,设点$P(x_{0},y_{0})$,由题意得$x_{0}+1 = 9$,解得$x_{0}=8$,代入抛物线方程$y^{2}=4x$,得$y_{0}^{2}=32$,解得$y_{0}=\pm4\sqrt{2}$,则点P到x轴的距离为$4\sqrt{2}$.
(2)因为点$F(0,4)$是抛物线$C:x^{2}=2py(p＞0)$的焦点,所以$\frac{p}{2}=4$,解得$p = 8$,所以抛物线C的方程为$x^{2}=16y$.由抛物线的定义知:点M到点$F(0,4)$的距离等于点M到准线$y = -4$的距离,结合点$P(2,3)$与抛物线C的位置关系可知,如图,$|MF|+|MP|$的最小值是点$P(2,3)$到准线$y = - 4$的距离,故$|MF|+|MP|$的最小值为7.

根据下列条件，求抛物线的标准方程：

答案： 解:
(1)准线方程为$2y + 4 = 0$,即$y = - 2$,故抛物线焦点在y轴的正半轴上,设其方程为$x^{2}=2py(p＞0)$.
又$\frac{p}{2}=2$,所以$2p = 8$,故所求抛物线的标准方程为$x^{2}=8y$.
(2)因为点$(3,-4)$在第四象限,所以抛物线开口向右或向下,设抛物线的标准方程为$y^{2}=2px(p＞0)$或$x^{2}=-2p_{1}y(p_{1}＞0)$.
把点$(3,-4)$的坐标分别代入$y^{2}=2px$和$x^{2}=-2p_{1}y$中,得$(-4)^{2}=2p·3,3^{2}=-2p_{1}·(-4)$,则$2p=\frac{16}{3},2p_{1}=\frac{9}{4}$,所以所求抛物线的标准方程为$y^{2}=\frac{16}{3}x$或$x^{2}=-\frac{9}{4}y$.
(3)令$x = 0$得$y = - 5$;令$y = 0$得$x = - 15$.
所以抛物线的焦点为$(0,-5)$或$(-15,0)$.
所以所求抛物线的标准方程为$x^{2}=-20y$或$y^{2}=-60x$.

(1) 准线方程为 $ 2y + 4 = 0 $；

答案：
(1)准线方程为$2y + 4 = 0$,即$y = - 2$,故抛物线焦点在y轴的正半轴上,设其方程为$x^{2}=2py(p＞0)$.
又$\frac{p}{2}=2$,所以$2p = 8$,故所求抛物线的标准方程为$x^{2}=8y$.

(2) 过点 $ (3,-4) $；

答案：
(2)因为点$(3,-4)$在第四象限,所以抛物线开口向右或向下,设抛物线的标准方程为$y^{2}=2px(p＞0)$或$x^{2}=-2p_{1}y(p_{1}＞0)$.
把点$(3,-4)$的坐标分别代入$y^{2}=2px$和$x^{2}=-2p_{1}y$中,得$(-4)^{2}=2p·3,3^{2}=-2p_{1}·(-4)$,则$2p=\frac{16}{3},2p_{1}=\frac{9}{4}$,所以所求抛物线的标准方程为$y^{2}=\frac{16}{3}x$或$x^{2}=-\frac{9}{4}y$.

(3) 焦点在直线 $ x + 3y + 15 = 0 $ 上.

答案：
(3)令$x = 0$得$y = - 5$;令$y = 0$得$x = - 15$.
所以抛物线的焦点为$(0,-5)$或$(-15,0)$.
所以所求抛物线的标准方程为$x^{2}=-20y$或$y^{2}=-60x$.

(1) 抛物线过点 $ (-5,4) $，则抛物线的标准方程为$y^{2}=-\frac{16}{5}x$或$x^{2}=\frac{25}{4}y$.
(2) 已知抛物线 $ C:y^{2}=2px(p＞0) $，点 $ A,B $ 在抛物线上，且直线 $ AB $ 过点 $ D(-\frac{p}{2},0) $，$ F $ 为 $ C $ 的焦点，若 $ |FA| = 2|FB| = 6 $，则抛物线 $ C $ 的标准方程为$y^{2}=8x$.

答案：

(1)$y^{2}=-\frac{16}{5}x$或$x^{2}=\frac{25}{4}y$
(2)$y^{2}=8x$
(1)因为点$(-5,4)$在第二象限,所以抛物线开口向左或向上,设抛物线的标准方程为$y^{2}=-2p_{1}x(p_{1}＞0)$或$x^{2}=2p_{2}y(p_{2}＞0)$.把点$(-5,4)$的坐标分别代入$y^{2}=-2p_{1}x$和$x^{2}=2p_{2}y$中,得$4^{2}=-2p_{1}·(-5),(-5)^{2}=2p_{2}·4$,则$2p_{1}=\frac{16}{5},2p_{2}=\frac{25}{4}$,所以所求抛物线的标准方程为$y^{2}=-\frac{16}{5}x$或$x^{2}=\frac{25}{4}y$.
(2)如图,过点A,B分别作抛物线C的准线l的垂线,垂足分别为$A_{1},B_{1}$,由抛物线的定义可知,$|AA_{1}|=|AF|,|BB_{1}|=|BF|$,因为$2|FB|=|FA|$,所以$2|BB_{1}|=|AA_{1}|$,则易知B为AD的中点.连接OB,则OB为$\triangle DFA$的中位线,所以$2|OB|=|FA|$,所以$|OB|=|FB|$,所以点B在
线段OF的垂直平分线上,所以点B的横坐标为$\frac{p}{4}$,所以$|FB|=\frac{p}{2}+\frac{p}{4}=3$,所以$p = 4$,所以抛物线C的标准方程为$y^{2}=8x$.