《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题) 下列结论中错误的是 (ABD)

A.三个数 $ a $，$ b $，$ c $ 成等比数列的充要条件是 $ b^2 = ac $
B.当公比 $ q ＞ 1 $ 时，等比数列 $ \{ a_n \} $ 为递增数列
C.如果数列 $ \{ \ln a_n \} $ 为等差数列，则数列 $ \{ a_n \} $ 是等比数列
D.数列 $ \{ a_n \} $ 为等比数列，则 $ S_4 $，$ S_8 - S_4 $，$ S_{12} - S_8 $ 成等比数列

答案： 1.ABD

2. (链接北师选择性必修二 P24 例 2) 在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，$ a_3 = \dfrac{3}{2} $，$ S_3 = \dfrac{9}{2} $，则 $ a_2 $ 的值为 (D)

A.$ \dfrac{3}{2} $
B.$ -3 $
C.$ -\dfrac{3}{2} $
D.$ -3 $ 或 $ \dfrac{3}{2} $

答案： 2.D 由$S_3=a_1+a_2+a_3=a_3(q^{-2}+q^{-1}+1)$,得$q^{-2}+q^{-1}+1=3$,即$2q^2-q-1=0$,解得$q=1$或$q=-\frac{1}{2}$.所以$a_2=\frac{a_3}{q}=\frac{3}{2}$或$-3$.故选D.

3. (链接北师选择性必修二 P29 例 5) 已知等比数列 $ \{ a_n \} $ 的公比为 $ 2 $，前 $ n $ 项和为 $ S_n $。若 $ S_9 = 511 $，则 $ a_3 = $ (A)

A.$ 4 $
B.$ 8 $
C.$ 16 $
D.$ 32 $

答案： 3.A 依题意$S_9=\frac{a_1(1-2^9)}{1-2}=511a_1=511,a_1=1$,所以$a_3=1×2^2=4$.
故选A.

4. 记 $ S_n $ 为等比数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和。若 $ a_3 = 4a_1 $，则 $ \dfrac{S_8}{S_4} = $17$ $。

答案： 4.17 设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$,由$a_3=4a_1$,可得$a_3=4a_1=a_1q^2$,即$q^2=4$,所以$\frac{S_8}{S_4}=\frac{\frac{a_1(1-q^8)}{1-q}}{\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}}=1+q^4=1+4^2=17$.

1. (一题多解) (2022·全国乙卷) 已知等比数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ 3 $ 项和为 $ 168 $，$ a_2 - a_5 = 42 $，则 $ a_6 = $ (D)

A.$ 14 $
B.$ 12 $
C.$ 6 $
D.$ 3 $

答案： 1.D 法一:设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$,由题意可得$\begin{cases}a_1+a_2+a_3=168,\\a_2-a_5=42.\end{cases}$即$\begin{cases}a_1(1+q+q^2)=168,\\a_1q(1-q^3)=42,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=96,\\q=\frac{1}{2}.\end{cases}$所以$a_6=a_1q^5=3$.故选D.
法二:设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$,易知$q\neq1$,由题意可得$\begin{cases}\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=168,\\a_1q(1-q^3)=42,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=96,\\q=\frac{1}{2}.\end{cases}$所以$a_6=a_1q^5=3$.故选D.

2. (2023·全国甲卷) 设等比数列 $ \{ a_n \} $ 的各项均为正数，前 $ n $ 项和为 $ S_n $，若 $ a_1 = 1 $，$ S_5 = 5S_3 - 4 $，则 $ S_4 = $ (C)

A.$ \dfrac{15}{8} $
B.$ \dfrac{65}{8} $
C.$ 15 $
D.$ 40 $

答案： 2.C 由题知$1+q+q^2+q^3+q^4=5(1+q+q^2)-4$,即$q^3+q^4=4q+4q^2$,即$q^3+q^2-4q-4=0$,即$(q-2)(q+1)(q+2)=0$.由题知$q＞0$,所以$q=2$.所以$S_4=1+2+4+8=15$.故选C.

3. (2025·广东深圳模拟) 已知等比数列 $ \{ a_n \} $ 公比为 $ q $，前 $ n $ 项和为 $ S_n $，且满足 $ a_6 = 8a_3 $，则下列说法正确的是 (D)

A.$ S_3 · S_9 = S_6^2 $
B.$ \dfrac{S_6}{S_3} = \dfrac{1}{9} $
C.$ q = \dfrac{1}{2} $
D.$ S_n = 2a_n - a_1 $

答案： 3.D 等比数列$\{a_n\}$中$a_n\neq0$,又$a_6=8a_3$,可得$q^3=\frac{a_6}{a_3}=8$,解得$q=2$,故C错误;又$a_n=a_1· q^{n-1}=a_1×2^{n-1}$,$S_n=\frac{a_1(1-2^n)}{1-2}=a_1(2^n-1)=2a_1·2^{n-1}-a_1=2a_n-a_1$,故D正确;又$S_3=a_1(2^3-1)=7a_1$,$S_6=a_1(2^6-1)=63a_1$,所以$\frac{S_6}{S_3}=\frac{63a_1}{7a_1}=9$,故B错误;又$S_9=a_1(2^9-1)=511a_1$,$S_3· S_9=7a_1×511a_1=3577a_1^2$,$S^2_6=(63a_1)^2=3969a_1^2$,故$S_3· S_9=S^2_6$不成立,故A错误.
故选D.

4. (多选题) (2025·吉林长春模拟) 在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走 $ 378 $ 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 $ 6 $ 天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为 $ M $，中间四天走的路程之积为 $ N $，则下列说法正确的是 (BCD)

A.此人第一天走了全程的一半
B.此人第五天和第六天共走了 $ 18 $ 里路
C.$ 5M ＜ 378 $
D.$ N = 1152^2 $

答案： 4.BCD 设此人第$n$天走了$a_n$里路,则数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$,公比为$q=\frac{1}{2}$的等比数列.已知六天走的路程总和为$S_6=\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=a_1\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^6\right]=378$,解得$a_1=192$;对于A,此人第一天走了全程的$\frac{192}{378}=\frac{32}{63}$大于全程的一半,即A错误;对于B,已知$a_5=192×\left(\frac{1}{2}\right)^5=12$,$a_6=192×\left(\frac{1}{2}\right)^6=6$,可得$a_5+a_6=18$,即B正确;对于C,中间两天走的路程之和为$M=a_3+a_4=192×\left(\frac{1}{2}\right)^3+192×\left(\frac{1}{2}\right)^4=72$,则$5M=360＜378$,即C正确;对于D,中间四天走的路程之积为$N=a_2a_3a_4a_5=96×48×24×12=(48×24)^2=1152^2$,即D正确.故选BCD.