《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1.(多选题)下列说法错误的是 (ABC)

A.方程x²+x+1=0没有解
B.复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi
C.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较
大小
D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到
原点的距离，也就是复数对应的向量的模

答案： 1.ABC

2.(链接北师必修二P180A组T6)已知复数z=i3(1
+i),则N在复平面内对应的点位于 (D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.$D$ $z=i^3(1+i)=-i(1+i)=1-i$,$z$在复平面内对应的点为$(1,-1)$,位于第四象限.故选$D$.

3.(2025.八省适应性测试)×2−4i|= (C)

A.2
B.4
C.2$\sqrt{5}$
D.6

答案： 3.C 由题意,$|2-4i|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$.故选$C$.

4.(链接北师必修二P180A组T1)i为虚数单位，若复
数(1+mi)(i+2)是纯虚数,则实数m=2.

答案： 4.2 因为$(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i$是纯虚数,所以$2-m=0$,且$1+2m\neq0$,解得$m=2$.

1.若复数z=$\frac{2+i}{a+i}$的实部与虚部相等，则实数a的
值为 (A)
A.−3 B.3 C.−1 D.1
2.(2024.北京通州模拟)已知复数z=1+i,则
|N−2i|= (A)
A. $\sqrt{10}$ B.$\sqrt{5}$ C.2 D.$\sqrt{2}$
3.若复数z=$\frac{3+ai}{2+i}$为纯虚数,则实数a= (D)
A.$\frac{3}{2}$ B.−$\frac{3}{2}$ C.6 D.−6

答案： 1.$A$ $z=\frac{2+i}{a+i}\frac{(2+i)(a-i)}{(a+i)(a-i)}=\frac{2a+1+(a-2)i}{a^2+1}$,因为复数$z=\frac{2+i}{a+i}$的实部与虚部相等,所以$2a+1=a-2$,解得$a=-3$,故实数$a$的值为$-3$.故选$A$.
2.$A$ $z=1-i$,$\vert z-2i\vert=\vert1-3i\vert=\sqrt{10}$.故选$A$.
3.$D$ 依题意,$z=\frac{(3+ai)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6+a+(2a-3)i}{5}=\frac{6+a}{5}+\frac{2a-3}{5}i$,因为复数$z$是纯虚数,且$a\in R$,则$\frac{6+a}{5}=0$且$\frac{2a-3}{5}\neq0$,解得$a=-6$.故选$D$.

数N在复平面内对应的点在 (C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 典例1
(1)$C$ $z=i·(2+i)=-1+2i$,则$\overline{z}=-1-2i$,则复数$\overline{z}$在复平面内对应的点的坐标为$(-1,-2)$,该点位于第三象限.故选$C$.

(2)(多选题)已知复数z1=−2+i(i为虚数单位),
复数z2满足|z2−1+2i|=2,x2在复平面内对应
的点为M(x,y),则下列结论正确的是 (ABD)

A.复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B.x11$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$$\frac{2}{5}$−$\frac{1}{5}$i
C.(x+1)²+(y−2)2=4
D.|z2−z1|的最大值为2+3$\sqrt{2}$

答案：
(2)对于$A$,复数$z_1$在复平面内对应的点的坐标为$(-2,1)$,该点位于第二象限,故$A$正确;对于$B$,$\frac{1}{z_1}=\frac{1}{-2+i}=\frac{-2-i}{(-2+i)(-2-i)}=-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$,故$B$正确;对于$C$,$z_2-1+2i=(x-1)+(y+2)i$,因为$\vert z_2-1+2i\vert=2$,所以$(x-1)^2+(y+2)^2=4$,故$C$错误;对于$D$,$z_1-1+2i=-3+3i$,则$\vert z_1-1+2i\vert=\sqrt{(-3)^2+3^2}=3\sqrt{2}$,$\vert z_2-z_1\vert=\vert(z_2-1+2i)-(z_1-1+2i)\vert\leq\vert z_2-1+2i\vert+\vert z_1-1+2i\vert=2+3\sqrt{2}$,故$D$正确.故选$ABD$.