《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 指数、对数、幂函数模型性质比较

答案： 递增；递增；递增；y轴；x轴

2. 几种常见的函数模型

答案： 该题为常见函数模型的总结，无需具体解题步骤，直接呈现如下:
1. 一次函数模型：$f(x) = ax + b$（$a, b$ 为常数，$a \neq 0$）。
2. 二次函数模型：$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a, b, c$ 为常数，$a \neq 0$）。
3. 与指数函数相关的模型：$f(x) = ba^x + c$（$a, b, c$ 为常数，$a ＞ 0$ 且 $a \neq 1, b \neq 0$）。
4. 与对数函数相关的模型：$f(x) = b\log_a x + c$（$a, b, c$ 为常数，$a ＞ 0$ 且 $a \neq 1, b \neq 0$）。
5. 与幂函数相关的模型：$f(x) = ax^n + b$（$a, b, n$ 为常数，$a \neq 0$）。

1. (多选题)下列说法中错误的是(ABD)

A.函数$y = 2^x$的函数值比$y = x^2$的函数值大
B.某商品进价为每件$100$元，按进价增加$10\%$出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利
C.在$(0, +\infty)$上，随着$x$的增大，$y = a^x(a ＞ 1)$的增长速度会超过并远远大于$y = x^a(a ＞ 0)$和$y = \log_a x(a ＞ 1)$的增长速度
D.在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型

答案： ABD

2. (链接北师必修一 P136 例 2，改编)有一组实验数据如下：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(C)

A.$V = \log_2 t$
B.$V = \log_{\frac{1}{2}} t$
C.$V = \frac{t^2 - 1}{2}$
D.$V = 2t - 2$

答案：
C 根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示，结合选项，函数$V=\log_2t$的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数$V=\log_{\frac{1}{2}}t$随着t的增大，V不断减小，不符合题意；函数$V=\frac{t^2-1}{2}$的增长速度越来越快，符合题意；函数$V=2t-2$增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个函数是$V=\frac{t^2-1}{2}$.故选C.

3. (链接北师必修一 P141 练习 T1 改编)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯$15$元的价格销售，每天能卖出$30$盏；若售价每提高$1$元，日销售量将减少$2$盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得$400$元以上(不含$400$元)的销售收入. 则这批台灯的销售单价$x$(单位：元)的取值范围是(C)

A.$\{x|10 \leq x ＜ 16\}$
B.$\{x|12 \leq x ＜ 18\}$
C.$\{x|15 \leq x ＜ 20\}$
D.$\{x|10 \leq x ＜ 20\}$

答案： C 由题意得，$[30 - 2(x - 15)] · x ＞ 400$，即$x^2 - 30x + 200 ＜ 0$，解得$10 ＜ x ＜ 20$，又因为$x \geq 15$，所以$15 \leq x ＜ 20$，这批台灯的销售单价$x$的取值范围是$\{x \mid 15 \leq x ＜ 20\}$.故选C.

4. 某种茶水用$100^{\circ}C$的水泡制，再等到$60^{\circ}C$时饮用可产生最佳口感. 已知茶水温度$y$(单位：$^{\circ}C$)与经过时间$t$(单位：$\min$)的函数关系是：$y = ka^t + y_0$，其中$a$为衰减比例，$y_0$是室温，$t = 0$时，$y$为茶水初始温度，若室温为$20^{\circ}C$，$a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{8}}$，茶水初始温度为$100^{\circ}C$，则$k =$80，产生最佳口感所需时间是8$\min$.

答案： 80 8 由题意，$y = ka^t + 20$，当$t = 0$时，$y = k + 20 = 100$，解得$k = 80$，则$y = 80a^t + 20$。当$y = 60$时，即$80a^t + 20 = 60$，则$a^t = \frac{1}{2}$，即$[(\frac{1}{2})^{\frac{1}{7}}]^t = \frac{1}{2}$，所以$t = 8$.