《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列命题中，正确的是(BD)

A.平面内的任意两个向量都可以作为一组基
B.设$\{a,b\}$是平面内的一组基，若$\lambda_{1}a+\lambda_{2}b=0$，则$\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$
C.若$a=(x_{1},y_{1})$，$b=(x_{2},y_{2})$，则$a// b$的充要条件可以表示成$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$
D.平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变

答案： 1.BD

2. (链接北师必修二 P100 例 1)如图，在$\triangle ABM$中，$BM=3CM$，$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AM}$，若$\overrightarrow{AN}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda+\mu=$(D)


A.$-\frac{1}{7}$
B.$\frac{1}{7}$
C.$-\frac{2}{7}$
D.$\frac{2}{7}$

答案： 2.D $\overrightarrow{AN} = \frac{2}{7} \overrightarrow{AM} = \frac{2}{7} ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} ) = \frac{2}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{7} × \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{7} ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ) = - \frac{1}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{7} \overrightarrow{AC}$,故 $\lambda + \mu = - \frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2}{7}$. 故选 D.

3. (链接北师必修二 P105A 组 T8)已知点$A(0,1)$，$B(3,2)$，向量$\overrightarrow{AC}=(-4,-3)$，则向量$\overrightarrow{BC}=$(A)

A.$(-7,-4)$
B.$(7,4)$
C.$(-1,4)$
D.$(1,4)$

答案： 3.A 法一:设 $C(x, y)$,则 $\overrightarrow{AC} = (x, y - 1) = (-4, -3)$, 解得 $\begin{cases} x = -4, \\ y - 1 = -3. \end{cases}$ 得 $\begin{cases} x = -4, \\ y = -2. \end{cases}$ 从而 $\overrightarrow{BC} = (-4, -2) - (3, 2) = (-7, -4)$. 故选 A. 法二:$\overrightarrow{AB} = (3, 2) - (0, 1) = (3, 1)$,$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (-4, -3) - (3, 1) = (-7, -4)$. 故选 A.

4. (链接北师必修二 P105 练习 T5)已知向量$a=(1,2)$，$b=(x,1)$，若$a// b$，则$x=$$\frac{1}{2}$.

答案： 4.$\frac{1}{2}$ 因为向量 $\boldsymbol {a} = (1, 2)$,$\boldsymbol {b} = (x, 1)$,$\boldsymbol {a} // \boldsymbol {b}$,所以 $1 - 2x = 0$,解得 $x = \frac{1}{2}$

1. (2024·福建福州模拟)如图所示的方格纸中有定点$O$，$P$，$Q$，$E$，$F$，$G$，$H$，则$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=$(C)


A.$\overrightarrow{OH}$
B.$\overrightarrow{OG}$
C.$\overrightarrow{FO}$
D.$\overrightarrow{EO}$

答案：
1.C 如图建立平面直角坐标系,则 $P(-2, -2)$,$Q(4, -1)$,$H(3, -3)$,$E(-2, 2)$,$F(-2, 3)$,$G(-1, 3)$,所以 $OH = (3, -3)$,$\overrightarrow{OP} = (-2, -2)$,$\overrightarrow{OQ} = (4, -1)$,$\overrightarrow{OG} = (-1, 3)$,$\overrightarrow{FO} = (2, -3)$,$\overrightarrow{EO} = (2, -2)$,所以 $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = (-2, -2) + (4, -1) = (2, -3)$,所以 $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{FO}$.

故选 C.

2. 已知$A(-1,2)$，$B(3,0)$，点$P$在直线$AB$上且$|\overrightarrow{AP}|=2|\overrightarrow{PB}|$，则点$P$的坐标为(C)

A.$(\frac{5}{3},\frac{2}{3})$
B.$(7,2)$
C.$(\frac{5}{3},\frac{2}{3})$或$(7,-2)$
D.$(2,1)$或$(7,-2)$

答案： 2.C 设点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$,因为 $A(-1, 2)$,$B(3, 0)$,所以 $\overrightarrow{AP} = (x + 1, y - 2)$,$\overrightarrow{PB} = (3 - x, -y)$. 由点 $P$ 在直线 $AB$ 上且 $|\overrightarrow{AP}| = 2|\overrightarrow{PB}|$,得 $\overrightarrow{AP} = 2 \overrightarrow{PB}$ 或 $\overrightarrow{AP} = -2 \overrightarrow{PB}$. 所以 $\begin{cases} x + 1 = 2(3 - x), \\ y - 2 = 2(-y), \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x + 1 = -2(3 - x), \\ y - 2 = -2(-y). \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = \frac{5}{3}, \\ y = \frac{2}{3} \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x = 7, \\ y = -2. \end{cases}$ 所以点 $P$ 的坐标为 $(\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$ 或 $(7, -2)$. 故选 C.