《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师必修二 $P26A$ 组 $T7$，改编)已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1, -2)$，则 $\sin \alpha =$(B)

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 2.B 角α的终边经过点P(1,−2)，则r = |OP| = $\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}$ = $\sqrt{5}$，所以$\sin\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故选B。

3. (链接北师必修二 $P12A$ 组 $T3$，改编)若 $\alpha = 6$，则角 $\alpha$ 的终边在(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 3.D $\alpha - 2\pi = 6 - 2\pi \in (-\frac{\pi}{2},0)$，故角α的终边在第四象限，故选D。

4. (链接北师必修二 $P12$ 练习 $T8$，改编)已知扇形的圆心角为 $30^{\circ}$，其弧长为 $2\pi$，则此扇形的面积为12π.

答案： 4.12π 因为$\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$，$l = \alpha r$，所以$r = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12$，所以扇形面积$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} × 2\pi × 12 = 12\pi$。

1. (多选题)下列说法正确的是(ABD)

A.如果 $\alpha$ 是第一象限的角，则 $-\alpha$ 是第四象限的角
B.角 $\frac{\pi}{3}$ 与角 $\frac{2}{3}\pi$ 的终边与单位圆的交点关于 $y$ 轴对称
C.终边落在 $y$ 轴上的角的集合可表示为 $\{ \alpha | \alpha = 90^{\circ} + k\pi, k \in \mathbf{Z} \}$
D.若 $\alpha$ 是第二象限角，则点 $P(\sin \alpha, \cos \alpha)$ 在第四象限

答案： 1.ABD 对于A，α是第一象限的角，即$2k\pi ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，$k \in \mathbf{Z}$，则$-\frac{\pi}{2} - 2k\pi ＜ -\alpha ＜ -2k\pi$，$k \in \mathbf{Z}$，因此−α是第四象限的角，故A正确；对于B，由角的终边易知角$\frac{\pi}{3}$与角$\frac{2\pi}{3}$的终边关于y轴对称，故B正确；对于C，出现角度制与弧度制混用错误，故C错误；对于D，由α是第二象限角，得$\sin\alpha ＞ 0$，$\cos\alpha ＜ 0$，则点P($\sin\alpha$，$\cos\alpha$)在第四象限，故D正确，故选ABD。

2. (2025·湖北武汉模拟)若角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边在 $x$ 轴的非负半轴上，终边在直线 $y = \sqrt{3}x$ 上，则角 $\alpha$ 的取值集合是(D)

A.$\{ \alpha | \alpha = 2k\pi + \frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z} \}$
B.$\{ \alpha | \alpha = 2k\pi + \frac{2\pi}{3}, k \in \mathbf{Z} \}$
C.$\{ \alpha | \alpha = k\pi + \frac{2\pi}{3}, k \in \mathbf{Z} \}$
D.$\{ \alpha | \alpha = k\pi + \frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z} \}$

答案： 2.D 根据题意，角α的终边在直线$y = \sqrt{3}x$上，α为第一象限角时，$\alpha = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$（$k \in \mathbf{Z}$）；α为第三象限角时，$\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$（$k \in \mathbf{Z}$）；综上，角α的取值集合是{$\alpha \mid \alpha = k\pi + \frac{\pi}{3}$，$k \in \mathbf{Z}$}，故选D。

3. 如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角 $\alpha$ 的集合是(B)


A.$\{ \alpha | \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq \alpha \leq (2k + 1)\pi, k \in \mathbf{Z} \}$
B.$\{ \alpha | \frac{5\pi}{6} + k\pi \leq \alpha \leq (k + 1)\pi, k \in \mathbf{Z} \}$
C.$\{ \alpha | -\frac{7\pi}{6} + 2k\pi \leq \alpha \leq (2k - 1)\pi, k \in \mathbf{Z} \}$
D.$\{ \alpha | -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq \alpha \leq 2k\pi, k \in \mathbf{Z} \}$

答案： 3.B 终边落在阴影部分的角为$\frac{5\pi}{6} + k\pi \leqslant \alpha \leqslant (k + 1)\pi$，$k \in \mathbf{Z}$，即终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是{$\alpha \mid \frac{5\pi}{6} + k\pi \leqslant \alpha \leqslant (k + 1)\pi$，$k \in \mathbf{Z}$}，故选B。

4. 已知角 $\alpha$ 是第二象限角，且 $| \cos \frac{\alpha}{2} | = \cos \frac{\alpha}{2}$，则角 $\frac{\alpha}{2}$ 是(A)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 4.A 因为角α是第二象限角，所以$\frac{\pi}{2} + 2k\pi ＜ \alpha ＜ \pi + 2k\pi$（$k \in \mathbf{Z}$），所以$\frac{\pi}{4} + k\pi ＜ \frac{\alpha}{2} ＜ \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbf{Z}$），所以角$\frac{\alpha}{2}$是第一象限角或第三象限角。又因为$\cos\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2}$，即$\cos\frac{\alpha}{2} ＞ 0$，所以角$\frac{\alpha}{2}$是第一象限角，故选A。

(1)若 $\alpha = 60^{\circ}$，$r = 3$，求扇形的弧长；

答案：
(1)设扇形的弧长为l。因为$\alpha = 60^{\circ}$，即$\alpha = \frac{\pi}{3}$，$r = 3$，所以$l = \alpha r = \frac{\pi}{3} × 3 = \pi$。

(2)若扇形的周长为 $16$，当 $\alpha$ 为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积；

答案：
(2)由题设条件知，$l + 2r = 16$，$l = 16 - 2r$（$0 ＜ r ＜ 8$），因此扇形的面积$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}(16 - 2r)r = -r^{2} + 8r = -(r - 4)^{2} + 16$，所以当$r = 4$时，S有最大值16，此时$l = 16 - 2r = 8$，$\alpha = \frac{l}{r} = 2$，所以当$\alpha = 2$时，扇形的面积最大，最大面积是16。

(3)若 $\alpha = \frac{\pi}{3}$，$r = 2 cm$，求扇形的弧所在的弓形的面积.

答案：
(3)设弓形面积为$S_{弓形}$，由题意知$l = \frac{2\pi}{3} cm$，所以$S_{弓形} = \frac{1}{2} × \frac{2\pi}{3} × 2 - \frac{1}{2} × 2^{2} × \sin\frac{\pi}{3} = (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}) cm^{2}$。

对点练 1 (1)(2025·浙江杭州模拟)半径为 $2$ 的圆上长度为 $4$ 的圆弧所对的圆心角是(B)

A.$1$
B.$2$
C.$4$
D.$8$

答案：
(1)B
(1)设圆弧所对的圆心角为α，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得$\alpha × 2 = 4$，所以$\alpha = 2$，故选B。