《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. (链接北师必修二 P48T3，改编)为了得到函数 $ y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) $ 的图象，可以将函数 $ y = 2\sin 2x $ 的图象(A)

A.向右平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度
B.向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度
C.向左平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度
D.向左平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度

答案： 3.A $y = 2\sin(2x-\frac{\pi}{3})=2\sin[2(x-\frac{\pi}{6})]$，所以可以将$y = 2\sin2x$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，故选A。

4. （链接北师必修二 P75C 组 T2，改编）某港口在一天 24 小时内的潮水的高度近似满足关系式 $ f(t) = 2\sin\left(\frac{5\pi}{12}t - \frac{\pi}{6}\right) $，其中 $ f(t) $ 的单位为 $ m $，$ t $ 的单位是 $ h $，则 12 点时潮水的高度是 ()1m.

答案： 4.1 当$t = 12$时，$f(12)=2\sin(5\pi-\frac{\pi}{6})=2\sin(\pi-\frac{\pi}{6}) = 1$，即12点时潮水的高度是1m。

1. (2025·广西北海模拟)为了得到函数 $ y = \cos\left(x - \frac{1}{3}\right) $ 的图象，只需将正弦函数 $ y = \sin x $ 图象上各点(B)

A.向右平移 $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} $ 个单位长度，纵坐标不变
B.向左平移 $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} $ 个单位长度，纵坐标不变
C.向左平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，纵坐标不变
D.向右平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，纵坐标不变

答案： 1.B 把$y=\sin x=\cos(x-\frac{\pi}{2})$上的所有点向左平移$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}$个单位长度，得到函数$y=\cos(x-\frac{1}{3})$的图象。故选B。

2. (多选题)(2025·河北石家庄模拟)要得到函数 $ y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $ 的图象，可将函数 $ y = \sin x $ 的图象(BC)

A.向左平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍
B.向左平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $ \frac{1}{2} $
C.纵坐标不变，横坐标变为原来的 $ \frac{1}{2} $，再将所得图象上所有点向左平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度
D.纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，再将所得图象上所有点向左平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度

答案： 2.BC 对于A，所得解析式为$y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$，故A错误；对于B，所得解析式为$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，故B正确；对于C，所得解析式为$y=\sin[2(x+\frac{\pi}{6})]=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，故C正确；对于D，所得解析式为$y=\sin[\frac{1}{2}(x+\frac{\pi}{3})]=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$，故D错误，故选BC。

3. (2021·全国乙卷)把函数 $ y = f(x) $ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $ \frac{1}{2} $ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度，得到函数 $ y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $ 的图象，则 $ f(x) = $(B)

A.$ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{7\pi}{12}\right) $
B.$ \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}\right) $
C.$ \sin\left(2x - \frac{7\pi}{12}\right) $
D.$ \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) $

答案： 3.B 依题意，将$y=\sin(x-\frac{\pi}{4})$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到$f(x)$的图象，所以$y=\sin(x-\frac{\pi}{4})$的图象$\xrightarrow{向左平移\frac{\pi}{3}个单位长度}y=\sin(x+\frac{\pi}{12})$的图象$\xrightarrow{所有点的横坐标扩大到原来的2倍}f(x)=\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})$的图象。故选B。

4. （2025·广东茂名期中）若函数 $ f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) $ 的图象向左平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度后，其图象与函数 $ g(x) = \cos 2x $ 的图象重合，则 $ m $ 的最小正数值为$\frac{\pi}{6}$().

答案： 4.$\frac{\pi}{6}$ 因为$g(x)=\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$，将函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$的图象向左平移$m(m＞0)$个单位长度后，得到$y=\sin[2(x + m)+\frac{\pi}{6}]=\sin(2x+2m+\frac{\pi}{6})$的图象，依题意得$2m+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in N$，所以$m=\frac{\pi}{6}+k\pi,k\in N$，所以$m$的最小正值为$\frac{\pi}{6}$。