《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 直线与圆的位置关系
直线：$Ax + By + C = 0$($A$，$B$不同时为$0$)，圆：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

答案： | 位置关系 | 相交 | 相切 | 相离 |
| --- | --- | --- | --- |
| 公共点个数 | 2 个 | 1 个 | 0 个 |
| 判定方法
几何法：设圆心到直线的距离 $d = \frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ | $d \lt r$ | $d = r$ | $d \gt r$ |
| 代数法：由$\begin{cases}Ax + By + C = 0,\\(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\end{cases}$消元得到一元二次方程，设判别式为 $\Delta$ | $\Delta \gt 0$ | $\Delta = 0$ | $\Delta \lt 0$ |
| 图形 | [相交图形] | [相切图形] | [相离图形] |

2. 圆与圆的位置关系
(1) 用几何法判断圆与圆的位置关系
已知两圆$C_1$：$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2$，$C_2$：$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2$，
则圆心距$d = |C_1C_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.
则两圆$C_1$，$C_2$有以下位置关系：
(2) 用代数法判定圆与圆的位置关系
已知两圆：$C_1$：$x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0$，$C_2$：$x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0$，
将方程联立$\begin{cases}x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\end{cases}$消去$y$(或$x$)得到关于$x$(或$y$)的一元二次方程，

则①判别式$\Delta ＞ 0$时，$C_1$与$C_2$相交.
②判别式$\Delta = 0$时，$C_1$与$C_2$外切或内切.
③判别式$\Delta ＜ 0$时，$C_1$与$C_2$外离或内含.

答案： 2.
(1)d＞r₁+r₂ d＜|r₁ - r₂| d=|r₁ - r₂| d=r₁+r₂
(2)相交 外切 内切 外离 内含

1. (多选题)下列说法正确的是(CD)

A.若两圆没有公共点，则两圆一定外离
B.若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
C.若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切
D.在圆中最长的弦是直径

答案： 1.CD