《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1) (2025·广东广州期末) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}x^2 + 2x - 3, x \leq 0, \\ -2 + \ln x, x ＞ 0,\end{cases}$ 方程 $ f(x) = k $ 有 3 个实数解，则实数 $ k $ 的取值范围是 ( )

A.$ -4 ＜ k \leq -3 $
B.$ -4 ＜ k ＜ -3 $
C.$ -3 ＜ k ＜ 0 $
D.$ k ＞ 0 $

答案：

(1)A f(x)的图象如图所示，因为方程f(x)=k有3个实数解，所以f(x)与y=k有3个不同的交点，由图可知-4＜k≤-3.故选A.

(2) (多选题) (2025·福建厦门期末) 函数 $ f(x) = \frac{1}{x} - \ln x + a $ 在区间 $ (1, e) $ 内存在零点的充分条件可以是 (AB)

A.$ a = 0 $
B.$ -1 ＜ a ＜ 0 $
C.$ -1 ＜ a ＜ 1 $
D.$ a ＜ 1 $

答案：
(2)AB 因为$y=\frac{1}{x}$在区间(1,e)上单调递减，y=lnx在区间(1,e)上单调递增，所以$f(x)=\frac{1}{x}+lnx+a$在区间(1,e)上单调递减，若函数f(x)在区间(1,e)内存在零点，则$\begin{cases}f(1)＞0,\\f(e)$＜0,\end{cases} 即\begin{cases}1 + a＞$0,\frac{1}{e}+1 + a＜0,\end{cases} $解得-1＜a＜1-\frac{1}{e}，故A、B符合题意，C、D不符合题意.故选AB.

(多选题) (2025·安徽淮北模拟) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}|\log_2 x|, 0 ＜ x ＜ 2, \\ x^2 - 8x + 13, x \geq 2,\end{cases}$ 若 $ f(x) = a $ 有四个不同的实数解 $ x_1, x_2, x_3, x_4 $，且满足 $ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $，则下列结论正确的是 ( )

A.$ 0 ＜ a ＜ 1 $
B.$ x_1 + 2x_2 \in \left[ 2\sqrt{2}, \frac{9}{2} \right) $
C.$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \in \left( 10, \frac{21}{2} \right) $
D.$ 2x_1 + x_2 \in \left[ 2\sqrt{2}, 3 \right) $

答案：
典例3 ACD 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)，y=a的图象，如图所示.由图象知，若f(x)=a有四个不同的实数解，则0＜a＜1，故A正确；因为|log₂x₁|=|log₂x₂|，即-log₂x₁=log₂x₂，则$x₁ + x₂=\frac{1}{x₂}+2x₂，$1＜x₂＜2，因为$y=\frac{1}{x₂}+2x₂$在(1,2)上单调递增，所以$\frac{1}{x₂}+2x₂∈(3,\frac{9}{2})，$故B错误；因为$x₁+x₂=\frac{1}{x₂}+x₂，$1＜x₂＜2，$y=\frac{1}{x₂}+x₂$在(1,2)上单调递增，所以$\frac{1}{x₂}+x₂∈(2,\frac{5}{2})，$而x₃+x₄=8，所以$x₁+x₂+x₃+x₄∈(10,\frac{21}{2})，$故C正确；因为$2x₁+x₂=\frac{2}{x₂}+x₂，$1＜x₂＜2，$y=\frac{2}{x₂}+x₂$在$(1,\sqrt{2})$上单调递减，在$(\sqrt{2},2)$上单调递增，则$\frac{2}{x₂}+x₂∈[2\sqrt{2},3)，$故D正确.故选ACD.

(2025·苏北四市联考) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}-x^2 - 2x, x \leq 0, \\ |1 - \ln x|, x ＞ 0,\end{cases}$ 若 $ f(x) = m $ 存在四个不相等的实数根 $ x_1, x_2, x_3, x_4 $，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $，则 $ x_4 - (x_1 + x_2)x_3 $ 的最小值是 ______ .

答案：
对点练$2 2\sqrt{2}e $作出函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}-2x,x≤0,\\$|1 - lnx|$,x ＞ 0.\end{cases} $的图象与直线y=m，如图所示.因为f(x)=m存在四个不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，所以x₁+x₂=-2，0＜x₃＜e＜x₄，且1 - lnx₃=-(1 - lnx₄)，则lnx₃+lnx₄=2，即lnx₃x₄=2，得x₃x₄=e²，则$x₄-(x₁+x₂)x₃=x₄+2x₃≥2\sqrt{2x₃x₄}=2\sqrt{2}e，$当且仅当x₄=2x₃，即$x₃=\frac{\sqrt{2}}{2}e，$$x₄=\sqrt{2}e$时等号成立.

(2024·新课标Ⅱ卷) 设函数 $ f(x) = a(x + 1)^2 - 1 $，$ g(x) = \cos x + 2ax $. 当 $ x \in (-1, 1) $ 时，曲线 $ y = f(x) $ 与 $ y = g(x) $ 恰有一个交点，则 $ a = $ (D)

A.$ -1 $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 真题再现 D 由题意知f(x)=g(x)，则a(x + 1)² - 1=cosx + 2ax，即cosx=a(x² + 1) - 1.令h(x)=cosx - a(x² + 1) + 1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零点，所以h
(0)=0，即cos0 - a(0 + 1) + 1=0，得a=2.故选D.

(人教 A 必修一 P156T13) 有一道题“若函数 $ f(x) = 24ax^2 + 4x - 1 $ 在区间 $ (-1, 1) $ 内恰有一个零点，求实数 $ a $ 的取值范围”，某同学给出了如下解答：
由 $ f(-1)f(1) = (24a - 5)(24a + 3) ＜ 0 $，
解得 $ -\frac{1}{8} ＜ a ＜ \frac{5}{24} $.
所以，实数 $ a $ 的取值范围是 $ \left( -\frac{1}{8}, \frac{5}{24} \right) $.
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的答案.
点评：
本题是教材习题的拓展，都考查了已知函数零点的个数求参数 (范围)，需适当变形后利用零点存在定理解决问题，是高考试题源于课本的典例.

答案： $\left\{-\frac{1}{6}\right\}\cup\left[-\frac{1}{8},\frac{5}{24}\right]$