《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师必修一 P132T1，改编) 下列函数图象与 $ x $ 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 (A)

A
B
C
D

答案： 2.A 由二分法的定义知，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)＜0，则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值，故选项A不能用二分法求图中函数零点.故选A.

3. (链接北师必修一 P132T3，改编) 方程 $ \log_2 x + x - 2 = 0 $ 解的存在区间为 (B)

A.$ (0, 1) $
B.$ (1, 2) $
C.$ (2, 3) $
D.$ (3, 4) $

答案： 3.B 函数f(x)=log₂x+x-2在(0,+∞)上单调递增，则方程在(0,+∞)上只有一个根，且f
(1)=-1，f
(2)=1，则f
(1)f
(2)＜0，故方程log₂x+x-2=0解所在的区间为(1,2).故选B.

4. 函数 $ f(x) = \begin{cases}x - 1, x ＞ 0, \\ x^2 - 4, x ＜ 0\end{cases}$ 的零点是 ______ .

答案： 4.1，-2 根据题意，函数$f(x)=\begin{cases}x - 1,x ＞ 0,\\x^{2}-4,x $＜ 0.\end{cases} 若f(x)=0，即\begin{cases}x - 1 = 0,\\x^{2}-4 = 0,\\x ＞$ 0,\\x ＜ 0.\end{cases} $解得x=1或x=-2，即函数的零点为1，-2.

1. (2025·江苏扬州模拟) 函数 $ f(x) = 2^x + x - 4 $ 的零点所在区间为 (C)

A.$ (-1, 0) $
B.$ (0, 1) $
C.$ (1, 2) $
D.$ (2, 3) $

答案： 1.C 因为$y=2^{x}$和y=x - 4均是R上的增函数，所以函数$f(x)=2^{x}+x - 4$是R上的增函数，又f
(1)=-1＜0，f
(2)=2＞0，f
(1)·f
(2)＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2).故选C.

2. 下列区间中存在方程 $ x^5 - x - 1 = 0 $ 的根的是 (B)

A.$ [0, 1] $
B.$ [1, 2] $
C.$ [3, 4] $
D.$ [4, 5] $

答案： 2.B 因为当x=1时$x^{5}-x - 1$＜0，当x=2时x^{5}-x - 1＞0，根据零点存在定理可得[1,2]存在方程$x^{5}-x - 1=0$的根.故选B.

3. 已知函数 $ f(x) = x + 2^x $ 的零点在区间 $ (n, n + 1) $ 内，$ n \in \mathbf{Z} $，则 $ n $ 的值为 (B)

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ 0 $
D.$ 1 $

答案： 3.B 因为函数$f(x)=x+2^{x}$的定义域为R，且f(x)在R上单调递增，且f
(0)=1＞0，$f(-1)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}＜0，$即f
(0)·f(-1)＜0，由零点存在定理可得，f(x)的零点所在区间为(-1,0)，所以n=-1.故选B.

4. (开放题) 定义开区间 $ (a, b) $ 的长度为 $ b - a $. 经过估算，函数 $ f(x) = \frac{1}{2^x} - x^{\frac{1}{3}} $ 的零点属于开区间$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ (只需写出一个符合条件，且长度不超过 $ \frac{1}{6} $ 的开区间即可).

答案： $4.(\frac{1}{3},\frac{1}{2})（$答案不唯一） 因为$f(x)=\frac{1}{2^{x}}-x^{\frac{1}{5}}$是减函数，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又$f(1)=-\frac{1}{2}$＜0，f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}-(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5}}＜0，f(\frac{1}{3})=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}-(\frac{1}{3})^{\frac{1}{5}}＞0，即$f(\frac{1}{2})·f(\frac{1}{3})＜0，$所以函数f(x)在$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$上有零点，且$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}，$符合题意，所以函数$f(x)=\frac{1}{2^{x}}-x^{\frac{1}{5}}$的零点属于$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})（$答案不唯一）.

(1) (2025·陕西汉中模拟) 方程 $ \lg x - |\sin 2x| = 0 $ 在 $ (0, 3\pi) $ 内实数根的个数为 (A)

A.11
B.10
C.9
D.8

答案：

(1)A 由x∈(0,3π)，得2x∈(0,6π)，方程lgx - |sin2x|=0实数根的个数就是函数y=lgx与y=|sin2x|图象公共点的个数，当x∈(0,3π)时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根.故选A.

(2) (2025·吉林长春模拟) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}|\ln x|, x ＞ 0, \\ -2x(x + 2), x \leq 0,\end{cases}$ 则函数 $ y = f(x) - 3 $ 的零点个数是 ( )

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：

(2)B 法一（直接法）：由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x＞0时，得lnx=3或lnx=-3，解得x=e³或x=e⁻³；当x≤0时，得-2x(x+2)=3，无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2.故选B.
法二（图象法）：作出函数f(x)的图象，如图，函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数，作出直线y=3，由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点，故函数y=f(x)-3的零点个数是2.故选B.

(1) 方程 $ \left( \frac{1}{2} \right)^x - |\log_{\frac{1}{2}} x| = 0 $ 的解的个数为 ()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 或 3 或 4
(2) (2025·浙江杭州模拟) 函数 $ f(x) = \begin{cases}x^2 - a, x ＞ a, \\ x - 2a, x \leq a\end{cases}$ 至多有 ______ 个零点.

答案：
对点练1
(1)A
(2)1
(1)方程$(\frac{1}{2})^{-|\log \frac{1}{2}x|}=0$的解的个数，等价于函数$y=(\frac{1}{2})^{-|\log \frac{1}{2}x|}$和函数y=|$\log \frac{1}{2}x$|的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示.

数形结合可得，函数$y=(\frac{1}{2})^{-|\log \frac{1}{2}x|}$和函数y=|$\log \frac{1}{2}x$|的图象的交点个数为2，故方程$(\frac{1}{2})^{-|\log \frac{1}{2}x|}=0$的解的个数为2.故选A.
(2)若a＞0，当x＞a，令x²-a=0，解得$x=±\sqrt{a}，$但x＞a，所以只有$x=\sqrt{a}$可能是零点，且a＞0，$\sqrt{a}＞a，$当x≤a，令x - 2a=0，解得x=2a，而2a＞a，所以此时无零点，即a＞0时函数至多有1个零点；若a≤0，当x＞a，x²-a=0显然无解，当x≤a，令x - 2a=0，解得x=2a，又a≤0，则2a≤a，有一个零点，即a≤0时，函数有1个零点.综上所述，函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-a,x ＞ a,\\x - 2a,x≤a.\end{cases} $至多有1个零点.