《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 2 (1)(2023·全国乙卷)设 $ A $，$ B $ 为双曲线 $ x^2 - \frac{y^2}{9} = 1 $ 上两点，下列四个点中，可为线段 $ AB $ 中点的是 ()

A.$ (1,1) $
B.$ (-1,2) $
C.$ (1,3) $
D.$ (-1,-4) $

答案： D

(2)(一题多解)已知 $ P(1,1) $ 为椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1 $ 内一定点，经过 $ P $ 引一条弦，使此弦被 $ P $ 点平分，则此弦所在的直线方程为.

答案： $x + 2y - 3=0$

(1)已知斜率为 $ -1 $ 的直线经过椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 的左焦点 $ F $，且与椭圆相交于 $ A $，$ B $ 两点，则弦 $ AB $ 的长为.

答案： $\frac{24}{7}$

(2)已知抛物线 $ C: y^2 = 2px $($ p ＞ 0 $)的焦点到准线的距离为 $ 1 $，若抛物线 $ C $ 上存在关于直线 $ l: x - y - 2 = 0 $ 对称的不同的两点 $ P $ 和 $ Q $，则线段 $ PQ $ 的中点坐标为.

答案： (1,-1)

(3)(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设 $ O $ 为坐标原点，直线 $ y = -\sqrt{3}(x - 1) $ 过抛物线 $ C: y^2 = 2px $($ p ＞ 0 $)的焦点，且与 $ C $ 交于 $ M $，$ N $ 两点，$ l $ 为 $ C $ 的准线，则()

A.$ p = 2 $
B.$ |MN| = \frac{8}{3} $
C.以 $ MN $ 为直径的圆与 $ l $ 相切
D.$ \triangle OMN $ 为等腰三角形

答案： AC

(1)求椭圆 $ E $ 的方程及离心率；

答案： 设椭圆$E$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$。
因为椭圆$E$过点$(4,0)$，$(2 , 3)$两点，
所以$\left\{ \begin{matrix} \frac{16}{a^{2}} = 1 ,\\ \frac{4}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1 .\end{matrix} \right.$
解得$a = 4$，$b^{2} = 12$（$a ＞ b＞0$，舍去负值与$a＜b$的情况）。
椭圆$E$的方程为$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$。
又$c^{2} = a^{2} - b^{2} = 4$，得$c = 2$（$c＞0$）。
所以离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。

(2)若直线 $ BD $ 的斜率为 $ 0 $，求 $ t $ 的值.

答案： 答案略

已知双曲线 $ C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $（$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $）的左、右焦点分别为 $ F_1 $，$ F_2 $，渐近线方程是 $ y = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}x $，点 $ A(0,b) $，且 $ \triangle AF_1F_2 $ 的面积为 $ 6 $.
（1）求双曲线 $ C $ 的标准方程；
（2）直线 $ l: y = kx + m $（$ k \neq 0 $，$ m \neq 0 $）与双曲线 $ C $ 交于不同的两点 $ P $，$ Q $，若 $ |AP| = |AQ| $，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： （1）$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$；（2）$(-\infty,-\frac{9}{2})\cup(0,\frac{8}{9})$