《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (一题多解)已知二次函数$f(x)$满足$f(2) = -1$，$f(-1) = -1$，且$f(x)$的最大值是$8$，则$f(x) =$$-4x^2+4x+7$.

答案： 1.$-4x^{2}+4x + 7$ 法一：(利用“一般式”)设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$.
由题意得$\begin{cases}4a + 2b + c = -1\\a - b + c = -1\frac{4ac - b^{2}}{4a}=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -4\\b = 4\\c = 7\end{cases}$. 所以所求二次函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x + 7$.
法二：(利用“顶点式”)设$f(x)=a(x - m)^{2}+n(a \neq 0)$. 因为$f(2)=f(-1)$，所以抛物线的对称轴为$x=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$，所以$m=\frac{1}{2}$. 又根据题意，函数有最大值8，所以$n = 8$，所以$f(x)=a(x - \frac{1}{2})^{2}+8$. 因为$f(2)=-1$，所以$a(2 - \frac{1}{2})^{2}+8=-1$，解得$a = -4$，所以$f(x)=-4(x - \frac{1}{2})^{2}+8=-4x^{2}+4x + 7$.
法三：(利用“零点式”)由已知$f(x)+1 = 0$的两根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$，故可设$f(x)+1=a(x - 2)(x + 1)(a \neq 0)$，即$f(x)=ax^{2}-ax - 2a - 1$.
又函数有最大值8，即$\frac{4a(-2a - 1)-(-a)^{2}}{4a}=8$，解得$a = -4$或$a = 0$(舍). 故所求函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x + 7$.

2. 已知二次函数的图象过点$(-3, 0)$，$(1, 0)$，且顶点到$x$轴的距离等于$2$，则二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+x - \frac{3}{2}$或$y=-\frac{1}{2}x^{2}-x + \frac{3}{2}$.

答案： 2.$y=\frac{1}{2}x^{2}+x - \frac{3}{2}$或$y=-\frac{1}{2}x^{2}-x + \frac{3}{2}$ 因为二次函数的图象过点$(-3,0)$，$(1,0)$，所以可设二次函数为$y = a(x + 3)(x - 1)(a \neq 0)$，展开得$y = ax^{2}+2ax - 3a$，顶点的纵坐标为$\frac{-12a^{2}-4a^{2}}{4a}=-4a$，由于二次函数图象的顶点到$x$轴的距离为2，所以$\vert -4a\vert = 2$，即$a = \pm\frac{1}{2}$，所以二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+x - \frac{3}{2}$或$y=-\frac{1}{2}x^{2}-x + \frac{3}{2}$.

3. 已知$y = f(x)$是二次函数，且$f(0) = 1$，$f(x + 1) - f(x) = 2x$，则$y = f(x) =$$x^2-x+1$.

答案： 3.$x^{2}-x + 1$ 因为$f(0)=1$，$y = f(x)$是二次函数，所以设$f(x)=ax^{2}+bx + 1$，又因为$f(x + 1)-f(x)=2x$，所以$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+1-(ax^{2}+bx + 1)=2x$，所以$2ax + a + b = 2x$，所以$a = 1$，$b = -1$，解得$a = 1$，$b = -1$，所以$f(x)=x^{2}-x + 1$.

典例 1 (1) (2025·广东惠州模拟)已知一次函数$y = ax + b$的图象如图所示，则二次函数$y = ax^2 + bx$的图象可能是(D)


A.
B.
C.
D.

答案：
(1)D 由一次函数的图象可知：$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，所以二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象开口向下，且对称轴为$x = -\frac{b}{2a}＞0$. 故选D.

(2) (多选题)如图是二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$图象的一部分，图象过点$A(-3, 0)$，对称轴为$x = -1$. 给出下面四个结论正确的为(AD)

A.$b^2 ＞ 4ac$
B.$2a - b = 1$
C.$a - b + c = 0$
D.$5a ＜ b$

答案：
(2)AD 因为图象与$x$轴交于两点，所以$b^{2}-4ac ＞ 0$，即$b^{2}＞4ac$，故A正确；对称轴为$x = -1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，$2a - b = 0$，故B错误；结合图象，当$x = -1$时，$y ＞ 0$，即$a - b + c ＞ 0$，故C错误；由对称轴为$x = -1$知，$b = 2a$. 根据抛物线开口向下，知$a ＜ 0$，所以$5a ＜ 2a$，即$5a ＜ b$，故D正确. 故选AD.

(1) (多选题)(2025·河南南阳模拟)在一元二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$中，其中$a$与$b$同号，那么函数的图象可能为(BC)

A.
B.
C.
D.
(2) (多选题)二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示，则下列说法正确的是(ACD)

A. $2a + b = 0$
B. $4a + 2b + c ＜ 0$
C. $9a + 3b + c ＜ 0$
D. $abc ＜ 0$

答案：
(1)BC
(2)ACD
(1)对于A，开口向上，$a ＞ 0$，对称轴$-\frac{b}{2a}＞0$，所以$b ＜ 0$，与已知矛盾，故A错误；对于B，开口向上，$a ＞ 0$，对称轴$-\frac{b}{2a}＜0$，所以$b ＞ 0$，满足条件，故B正确；对于C，开口向下，$a ＜ 0$，对称轴$-\frac{b}{2a}＜0$，所以$b ＜ 0$，满足条件，故C正确；对于D，开口向下，$a ＜ 0$，对称轴$-\frac{b}{2a}＞0$，所以$b ＞ 0$，与已知矛盾，故D错误. 故选BC.
(2)由二次函数图象开口向下知$a ＜ 0$，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=1$，即$2a + b = 0$，故$b ＞ 0$. 又因为$f(0)=c ＞ 0$，所以$abc ＜ 0$.$f(2)=f(0)=4a + 2b + c ＞0$，$f(3)=f(-1)=9a + 3b + c ＜ 0$. 故选ACD.

(1) 若$f(x)$在区间$(-1, 2)$上不单调，求实数$t$的取值范围；

答案：
(1)依题意，$-1 ＜ \frac{t}{2}＜2$，解得$-2 ＜ t ＜ 4$，所以实数$t$的取值范围是$(-2,4)$.

(2) 若$x \in [-1, 2]$，求$f(x)$的最小值$g(t)$.

答案：
(2)①当$\frac{t}{2}\geqslant2$，即$t\geqslant4$时，$f(x)$在$[-1,2]$上单调递减，所以$f(x)_{min}=f(2)=3 - 2t$.
②当$-1 ＜ \frac{t}{2}＜2$，即$-2 ＜ t ＜ 4$时，$f(x)_{min}=f(\frac{t}{2})=-1 - \frac{t^{2}}{4}$.
③当$\frac{t}{2}\leqslant -1$，即$t\leqslant -2$时，$f(x)$在$[-1,2]$上单调递增，所以$f(x)_{min}=f(-1)=t$.
综上，$g(t)=\begin{cases}t,t\leqslant -2\\-1 - \frac{t^{2}}{4},-2 ＜ t ＜ 4\\3 - 2t,t\geqslant4\end{cases}$.