《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 利用描点法作函数图象的步骤
化简
确定函数的定义域并化简函数解析式
讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)
列表
除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最(极)值点、对称点等
描点
画出直角坐标系，准确描出表中所表示的各个点
连线
用光滑的曲线连接所描的各个点，得图象

答案： 利用描点法作函数图象的步骤如下：
1. 化简：确定函数的定义域并化简函数解析式；讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）。
2. 列表：除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最（极）值点、对称点等。
3. 描点：画出直角坐标系，准确描出表中所表示的各个点。
4. 连线：用光滑的曲线连接所描的各个点，得图象。

2. 函数图象的四种变换
平移变换
y = f(x)
(1) 上移 k(k ＞ 0) 个单位长度 → y =f(x)+k
(2) 下移 k(k ＞ 0) 个单位长度 → y =
(3) 左移 k(k ＞ 0) 个单位长度 → y =
(4) 右移 k(k ＞ 0) 个单位长度 → y =
伸缩变换
y = f(x)
(1) 纵坐标不变，横坐标变为原来的 1/a(a ＞ 0) 倍 → y =
(2) 横坐标不变，纵坐标变为原来的 A(A ＞ 0) 倍 → y =Af(x)
对称变换
y = f(x)
(1) 关于 x 轴对称 → y =-f(x)
(2) 关于 y 轴对称 → y = f(-x).
(3) 关于原点对称 → y = -f(-x).
翻折变换
y = f(x)
(1) 保留 x 轴上方图象，将 x 轴下方图象翻折上去|f(x)|→ y =
(2) 保留 y 轴右侧图象，并作关于 y 轴对称的图象 → y =f(|x|)

答案： 2.$f(x)+k$ $f(x)-k$ $f(x+k)$ $f(x-k)$ $f(ax)$ $Af(x)$ $-f(x)$ $\left|f(x)\right|$ $f(\left|x\right|)$

1. (多选题)下列说法中正确的是 (BC)

A.当 x ∈ (0, +∞) 时，函数 y = |f(x)| 与 y = f(|x|) 的图象相同
B.若函数 y = f(x) 满足 f(1 + x) = f(1 - x)，则函数 f(x) 的图象关于直线 x = 1 对称
C.函数 y = f(1 - x) 的图象，可由 y = f(-x) 的图象向右平移 1 个单位长度得到
D.函数 y = a f(x) 与 y = f(ax)(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的图象相同

答案： 1.BC

2. 函数 y = $\frac{x}{x^2 + 1}$ 的图象是 (D)


A.y
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2
B.y
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2
C.y
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2
D.y
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2

答案： 2.D 令函数$f(x)=y=\frac{x}{x^{2}+1}$,其定义域为$\mathbf{R}$,满足$f(-x)=\frac{-x}{x^{2}+1}=-f(x)$,即$y=\frac{x}{x^{2}+1}$为奇函数,故排除A、C;当$x＞0$时,$y=\frac{x}{x^{2}+1}＞0$,当$x＜0$时,$y=\frac{x}{x^{2}+1}＜0$,$f(0)=0$,可知D正确,B错误.故选D.

3. 已知图甲是函数 f(x) 的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是 (A)
图甲
y
O x
图乙
y
O x

A.y = f(|x|)
B.y = |f(x)|
C.y = f(-|x|)
D.y = -f(-|x|)

答案： 3.A 设图乙对应的函数为$g(x)$,由图可知当$x\geqslant0$时,$g(x)=f(x)$,当$x ＜0$时,$g(x)=g(-x)=f(-x)$,所以$g(x)=f(\left|x\right|)$.故选A.

4. 已知函数 f(x) 在 R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式 -2 ＜ f(x + t) ＜ 4 的解集为(-1, 2)(-1, 2)，则实数 t 的值为.

y
4
O 3 x
-2

答案： 4.1 由图象可知不等式$-2＜f(x+t)＜4$转化为$f(3)＜f(x+t)＜f(0)$,故$x+t\in(0,3)$,即不等式的解集为$(-t,3-t)$,依题意可得$t=1$.