《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

A. “菱形是正方形”是全称命题
B. “$ \forall x $，$ y \in \mathbf{R} $，$ x^{2} + y^{2} \geqslant 0 $”的否定是“$ \exists x $，$ y \in \mathbf{R} $，$ x^{2} + y^{2} ＜ 0 $”
C. 命题“有一个奇数不能被 3 整除”的否定是“有一个奇数能被 3 整除”
D. “$ A = B $”是“$ \sin A = \sin B $”的必要不充分条件

答案： 典例2 AB 对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形是正方形”是全称命题，故A正确；对于B，“$\forall x,y\in\mathbf{R},x^{2}+y^{2}\geqslant0$”的否定是“$\exists x,y\in\mathbf{R},x^{2}+y^{2}＜0$”，故B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，故C错误；对于D，$A = B\Rightarrow\sin A=\sin B$，$\sin A=\sin B\nRightarrow A = B$，如$A=\frac{\pi}{3}$，$B=\frac{2\pi}{3}$，故A = B是$\sin A=\sin B$的充分不必要条件，故D错误.故选AB.

典例 3 (2024·新课标Ⅱ卷) 已知命题 $ p $：$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ |x + 1| ＞ 1 $；命题 $ q $：$ \exists x ＞ 0 $，$ x^{3} = x $. 则(B)

A.$ p $ 和 $ q $ 都是真命题
B.$ \neg p $ 和 $ q $ 都是真命题
C.$ p $ 和 $ \neg q $ 都是真命题
D.$ \neg p $ 和 $ \neg q $ 都是真命题

答案： 典例3 B 因为$\forall x\in\mathbf{R}$，$\vert x + 1\vert\geqslant0$，所以命题$p$为假命题，所以$\neg p$为真命题.因为$x^{3}=x$，所以$x^{3}-x = 0$，即$x(x + 1)(x - 1)=0$，解得$x=-1$或$x = 0$或$x = 1$，所以$\exists x＞0$，使得$x^{3}=x$，所以命题$q$为真命题，所以$\neg q$为假命题，所以$\neg p$和$q$都是真命题.故选B.

(1) (2025·四川成都模拟) 已知命题“$ \forall x \in [1,4] $，$ \mathrm{e}^{x} - \dfrac{2}{x} - m \geqslant 0 $”为真命题，则实数 $ m $ 的取值范围为(A)

A.$ ( - \infty,\mathrm{e} - 2 ] $
B.$ \left( - \infty,\mathrm{e}^{4} - \dfrac{1}{2} \right] $
C.$ [\mathrm{e} - 2, + \infty ) $
D.$ \left[ \mathrm{e}^{4} - \dfrac{1}{2}, + \infty \right) $

答案：
(1)A 因为命题“$\forall x\in[1,4]$，$e^{x}-\frac{2}{x}\geqslant m$”为真命题，所以$\forall x\in[1,4]$，$m\leqslant e^{x}-\frac{2}{x}$.令$f(x)=e^{x}-\frac{2}{x}$，$x\in[1,4]$，故$f(x)$为增函数，当$x = 1$时，$f(x)$有最小值$e - 2$，即$m\leqslant e - 2$，则实数$m$的取值范围为$(-\infty,e - 2]$.故选A.

(2) 已知函数 $ f(x) = x^{2} - 2x + 3 $，$ g(x) = \log_{2} x + m $，若对任意 $ x_{1} $，$ x_{2} \in [1,4] $，$ f(x_{1}) ＞ g(x_{2}) $ 恒成立，则实数 $ m $ 的取值范围是(-∞,0).

答案：
(2)$(-\infty,0)$ $f(x)=x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$，当$x\in[1,4]$时，$f(x)_{\min}=f(1)=2$，$g(x)_{\max}=g(4)=2 + m$.由题知$f(x)_{\min}＞g(x)_{\max}$，即$2＞2 + m$，解得$m＜0$，故实数$m$的取值范围是$(-\infty,0)$.

(1) (多选题) (2025·广西北海期末) 下列说法正确的是(BC)

A.命题“对任意 $ x \in \mathbf{R} $，$ x^{2} + x + 1 ＜ 0 $”的否定是“存在 $ x \notin \mathbf{R} $，使得 $ x^{2} + x + 1 \geqslant 0 $”
B.“$ \dfrac{1}{a} ＜ 1 $”的充分不必要条件是“$ a ＞ 1 $”
C.设 $ x $，$ y \in \mathbf{R} $，则“$ x \geqslant 2 $ 且 $ y \geqslant 2 $”是“$ x^{2} + y^{2} \geqslant 4 $”的充分不必要条件
D.设 $ a $，$ b \in \mathbf{R} $，则“$ a \neq 0 $”是“$ ab \neq 0 $”的充分不必要条件

答案：
(1)BC 对于A，命题“对任意$x\in\mathbf{R},x^{2}+x + 1＜0$”的否定是“存在$x\in\mathbf{R}$，使得$x^{2}+x + 1\geqslant0$”，故A错误；对于B，$\frac{1}{a}＜1\Rightarrow a＜0$或$a＞1$，因为$\{a\mid a＞1\}\subsetneqq\{a\mid a＜0$或$a＞1\}$，所以“$a＞1$”是“$\frac{1}{a}＜1$”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当$x\geqslant2$且$y\geqslant2$时，$x^{2}\geqslant4$且$y^{2}\geqslant4$，则$x^{2}+y^{2}\geqslant8\geqslant4$，所以具有充分性，令$x = 2$，$y = 1$，$x^{2}+y^{2}=5\geqslant4$，但“$x\geqslant2$且$y\geqslant2$”不成立，所以不具有必要性，故C正确；对于D，因为“$ab = 0$”是“$a = 0$”的必要不充分条件，所以“$a\neq0$”是“$ab\neq0$”的必要不充分条件，故D错误.故选BC.

(2) (开放题) (2025·安徽阜阳期末) 已知命题 $ p $：$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2} + 2mx + 3 \leqslant 0 $，请写出一个满足“$ p $ 为假命题”的整数 $ m $ 的值：-1(答案不唯一).

答案：
(2)-1(答案不唯一) 由命题$p:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2mx + 3\leqslant0$为假命题，则$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2mx + 3＞0$恒成立，得$\Delta=4m^{2}-4×3＜0$，解得$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，所以整数$m$的值可为$-1$(答案不唯一).

(3) 已知 $ f(x) = x^{2} $，$ g(x) = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x} - m $，若 $ \forall x_{1} \in [ - 1,3 ] $，$ \exists x_{2} \in [0,2] $，$ f(x_{1}) \geqslant g(x_{2}) $，则实数 $ m $ 的取值范围是[1/4,+∞).

答案：
(3)$[\frac{1}{4},+\infty)$ 因为对$\forall x_{1}\in[-1,3]$，$\exists x_{2}\in[0,2]$，$f(x_{1})\geqslant g(x_{2})$，所以$f(x_{1})_{\min}\geqslant g(x_{2})_{\min}$，因为$f(x)=x^{2}$，$x\in[-1,3]$，所以$f(x)_{\min}=f(0)=0$.因为$g(x)=(\frac{1}{2})^{x}-m$，$x\in[0,2]$，所以$g(x)_{\min}=g(2)=\frac{1}{4}-m$.由$0\geqslant\frac{1}{4}-m$，得$m\geqslant\frac{1}{4}$，所以实数$m$的取值范围是$[\frac{1}{4},+\infty)$.

[真题再现] (2023·天津卷) “$ a^{2} = b^{2} $”是“$ a^{2} + b^{2} = 2ab $”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： [真题再现] B 由$a^{2}=b^{2}$，则$a=\pm b$，当$a=-b\neq0$时，$a^{2}+b^{2}=2ab$不成立，充分性不成立；由$a^{2}+b^{2}=2ab$，则$(a - b)^{2}=0$，即$a = b$，显然$a^{2}=b^{2}$成立，必要性成立；所以“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要不充分条件.故选B.

[教材呈现] (北师必修一 P44A 组 T1(3)) $ a + b ＞ 2c $ 的一个充分条件是(C)

A.$ a ＞ c $ 或 $ b ＞ c $
B.$ a ＞ c $ 且 $ b ＜ c $
C.$ a ＞ c $ 且 $ b ＞ c $
D.$ a ＞ c $ 或 $ b ＜ c $

答案： [教材呈现] C