《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2) 设全集 $U = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$，集合 $A = \{-1, 2\}$，$B = \{x \mid x^2 - 4x + 3 = 0\}$，则 $\complement_U (A \cup B) =$(D)

A.$\{1, 3\}$
B.$\{0, 3\}$
C.$\{-2, 1\}$
D.$\{-2, 0\}$

答案：
(2)D

(1) (2024·福建厦门模拟)已知集合 $A = \{1, a\}$，$B = \{x \mid \log_2 x ＜ 1\}$，且 $A \cap B$ 有 $2$ 个子集，则实数 $a$ 的取值范围为(D)

A.$(-\infty, 0]$
B.$(0, 1) \cup (1, 2]$
C.$[2, +\infty)$
D.$(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$

答案：
(1)D

(2) 已知集合 $A = \{x \mid 3x^2 - 2x - 1 \leq 0\}$，$B = \{x \mid 2a ＜ x ＜ a + 3\}$，若 $A \cap B = \varnothing$，则实数 $a$ 的取值范围是(B)

A.$a ＜ -\dfrac{10}{3}$ 或 $a ＞ \dfrac{1}{2}$
B.$a \leq -\dfrac{10}{3}$ 或 $a \geq \dfrac{1}{2}$
C.$a ＜ -\dfrac{1}{6}$ 或 $a ＞ 2$
D.$a \leq -\dfrac{1}{6}$ 或 $a \geq 2$

答案：
(2)B

(1) (2024·北京卷)已知集合 $M = \{x \mid -3 ＜ x ＜ 1\}$，$N = \{x \mid -1 \leq x ＜ 4\}$，则 $M \cup N =$(C)
A. $\{x \mid -1 \leq x ＜ 1\}$
B. $\{x \mid x ＞ -3\}$
C. $\{x \mid -3 ＜ x ＜ 4\}$
D. $\{x \mid x ＜ 4\}$
(2) (2025·福建泉州模拟)已知集合 $A = \{x \mid x - a ＜ 0\}$，$B = \{x \mid |x - b| = x - b\}$，若 $A \cap B = [1, 2)$，则 $a - b =$(C)
A. $-3$
B. $-1$
C. $1$
D. $3$

答案：
(1)C
(2)C

(1) (多选题)我们知道，如果集合 $A \subseteq S$，那么 $S$ 的子集 $A$ 的补集为 $\complement_S A = \{x \mid x \in S$ 且 $x \notin A\}$，类似地，对于集合 $A$，$B$，我们把集合 $\{x \mid x \in A$ 且 $x \notin B\}$ 叫做集合 $A$ 和 $B$ 的差集，记作 $A - B$，例如：$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$，则有 $A - B = \{1, 2, 3\}$，$B - A = \{6, 7, 8\}$，下列说法正确的是(BD)

A.已知 $A = \{4, 5, 6, 7, 9\}$，$B = \{3, 5, 6, 8, 9\}$，则 $B - A = \{3, 7, 8\}$
B.如果 $A - B = \varnothing$，那么 $A \subseteq B$
C.已知全集 $U$、集合 $A$、集合 $B$ 关系如上图中所示，则 $B - A \subseteq \complement_U B$
D.已知 $A = \{x \mid x ＜ -1$，或 $x ＞ 3\}$，$B = \{x \mid -2 \leq x ＜ 4\}$，则 $A - B = \{x \mid x ＜ -2$，或 $x \geq 4\}$

答案：
(1)BD

(2) 已知集合 $M = \{1, 2, 3, 4\}$，$A \subseteq M$，集合 $A$ 中所有元素的乘积称为集合 $A$ 的“累积值”，且规定：当集合 $A$ 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为 $0$. 设集合 $A$ 的累积值为 $n$.
① 若 $n = 3$，则这样的集合 $A$ 共有2个；
② 若 $n$ 为偶数，则这样的集合 $A$ 共有13个.

答案：
(2)①2 ②13

(1) (2025·浙江温州模拟)在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象. 数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样. 目前已经发现的数字黑洞有“123 黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等. 定义：若一个 $n$ 位正整数的所有数位上数字的 $n$ 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数. 已知所有一位正整数的自恋数组成集合 $A$，集合 $B = \{x \mid -3 ＜ x ＜ 4, x \in \mathbf{Z}\}$，则 $A \cap B$ 的子集个数为(D)
A. $3$
B. $4$
C. $7$
D. $8$
(2) (2025·上海徐汇期末)若集合 $A$ 同时具有以下三个性质：(1) $0 \in A$，$1 \in A$；(2) 若 $x$，$y \in A$，则 $x - y \in A$；(3) 若 $x \in A$ 且 $x \neq 0$，则 $\dfrac{1}{x} \in A$. 则称 $A$ 为“好集”. 已知命题：① 集合 $\{1, 0, -1\}$ 是好集；② 对任意一个“好集”$A$，若 $x$，$y \in A$，则 $x + y \in A$. 以下判断正确的是(D)
A. ①和②均为真命题
B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题
D. ①为假命题，②为真命题

答案：
(1)D
(2)D