《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现] (2024·全国甲卷理)已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}$，$B = \{x \mid \sqrt{x} \in A\}$，则 $\complement_A (A \cap B) =$(D)

A.$\{1, 4, 9\}$
B.$\{3, 4, 9\}$
C.$\{1, 2, 3\}$
D.$\{2, 3, 5\}$

答案： D

[教材呈现] (北师必修一 P 44A 组 T1(2))已知全集 $U = \{x \in \mathbf{N}_+ \mid -2 ＜ x ＜ 9\}$，$M = \{3, 4, 5\}$，$P = \{1, 3, 6\}$，那么 $\{2, 7, 8\}$ 是(B)

A.$M \cup \complement_U P$
B.$\complement_U (M \cap P)$
C.$(\complement_U M) \cup (\complement_U P)$
D.$(\complement_U M) \cap (\complement_U P)$
点评：本题主要考查集合的交集与补集运算，与教材习题角度相同，只是将条件与结论进行了对换.

答案： B

1. 必要条件、充分条件与充要条件

概念
(1) 若 $ p \Rightarrow q $ 且 $ q \nRightarrow p $，则 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件.
(2) 若 $ p \nRightarrow q $ 且 $ q \Rightarrow p $，则 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件.
(3) 若 $ p \Rightarrow q $ 且 $ q \Rightarrow p $，则 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件.
(4) 若 $ p \nRightarrow q $ 且 $ q \nRightarrow p $，则 $ p $ 是 $ q $ 的既不充分也不必要条件.
与集合的关系
(1) 若 $ p $ 是 $ q $ 的充分条件，则 $ A $⊆$ B $；
(2) 若 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件，则 $ A $⊊$ B $；
(3) 若 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件，则 $ B $⊊$ A $；
(4) 若 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件，则 $ A $=$ B $.

答案： 1.充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 ⊆ ⊊ ⊊ =

2. 全称量词命题和存在量词命题
(1) 全称量词和存在量词

(2) 全称量词命题与存在量词命题的否定

答案： 2.
(1)∀ ∃

1. (多选题) 下列说法正确的是(AB)

A.$ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件等价于 $ q $ 是 $ p $ 的必要不充分条件
B.“三角形的内角和为 $ 180^{\circ} $”是全称量词命题
C.命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数”
D.命题“$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ \sin^{2} \dfrac{x}{2} + \cos^{2} \dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{2} $”是真命题

答案： 1.AB

2. (链接北师必修一 P23A 组 T3，改编) 命题“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ \mathrm{e}^{x} - 1 \geqslant x $”的否定是(C)

A.$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ \mathrm{e}^{x} - 1 \geqslant x $
B.$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ \mathrm{e}^{x} - 1 \leqslant x $
C.$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ \mathrm{e}^{x} - 1 ＜ x $
D.$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ \mathrm{e}^{x} - 1 ＜ x $

答案： 2.C 由题意得命题“$\forall x\in\mathbf{R},e^{x}-1\geqslant x$”的否定是“$\exists x\in\mathbf{R},e^{x}-1＜x$”.故选C.

3. (多选题) (链接北师必修一 P22A 组 T1，改编) 对任意实数 $ a $，$ b $，$ c $，给出下列命题，其中假命题是(ABD)

A.“$ a = b $”是“$ ac = bc $”的充要条件
B.“$ a ＞ b $”是“$ a^{2} ＞ b^{2} $”的充分条件
C.“$ a ＜ 5 $”是“$ a ＜ 3 $”的必要条件
D.“$ a + 5 $ 是无理数”是“$ a $ 是无理数”的充分不必要条件

答案： 3.ABD