《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

13. 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A=α，请用含α的代数式表示∠E．
(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
(3)如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数．
②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积．

答案：
(1)$\frac{α}{2}$；
(2)见解析；
(3)①45°；②$\frac{125}{8}$
解析：
(1)设∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于E，∠E=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$(180°+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ABC)-90°=$\frac{1}{2}$(180°-α)-90°=$\frac{α}{2}$。
(2)
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴∠ABD=∠BAD。DF平分外角，∠FDC=∠DAF，
∴∠FBC=∠BAC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACD外角，故∠BEC是∠BAC的遥望角。
(3)①AC是直径，∠ADC=90°，∠AED=∠ACD=45°。②AB=8，CD=5，由相似得DE=$\frac{25}{4}$，DF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，S△DEF=$\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{2}}{2}×sin45°=\frac{125}{8}$。