《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

6. 如图所示，二次函数表达式：$y=-\frac{1}{2}(x-m)^2+4$，函数图象顶点为$A$，与$y$轴交于点$B$，异于顶点$A$的点$C(1,n)$在该函数图象上.
(1)当$n=2$时，若点$A$在第一象限内，结合图象，求当$y\geq2$时，自变量$x$的取值范围.
(2)作直线$AC$与$y$轴相交于点$D$. 当点$B$在$x$轴上方，且在线段$OD$上时，求$m$的取值范围.
第6题图

答案：
(1)$1\leq x\leq5$
将$C(1,2)$代入$y=-\frac{1}{2}(1-m)^2+4=2$，得$(1-m)^2=4$，$m=3$或$m=-1$.
点$A$在第一象限，$m=3$，函数为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+4$.
令$y=2$，解得$x=1$或$x=5$，故$1\leq x\leq5$.
(2)$1-\sqrt{2}\leq m\leq1+\sqrt{2}$且$m\neq1$
$B(0,-\frac{1}{2}m^2+4)$，点$B$在$x$轴上方，$-\frac{1}{2}m^2+4＞0$，得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$.
$C(1,-\frac{1}{2}(1-m)^2+4)$，直线$AC$：$y-4=\frac{-\frac{1}{2}(1-m)^2}{1-m}(x-m)$，令$x=0$得$D(0,4+\frac{1}{2}(1-m))$.
$B$在线段$OD$上，$0＜-\frac{1}{2}m^2+4\leq4+\frac{1}{2}(1-m)$，解得$1-\sqrt{2}\leq m\leq1+\sqrt{2}$，又$C$异于$A$，$m\neq1$，综上$1-\sqrt{2}\leq m\leq1+\sqrt{2}$且$m\neq1$.

7. 如图1，正方形$ABCD$边长为6，点$E$在线段$BC$上，且$BE=2$，点$F$在直线$CD$上，以$EF$为边作正方形$EFGH$（$E,F,G,H$逆时针排列），连结$HA$，直线$HA$与直线$CD$交于点$P$.
(1)如图2，当$HG$恰好过点$A$时，求$EF$的长.
(2)当点$H$在直线$CD$的左侧，且$AP=2AH$时，求$EF$的长.
第7题图

答案：
(1)$2\sqrt{10}$
设$F(6,t)$，则$EF^2=(6-2)^2+(t-0)^2=16+t^2$，$H(2-t,2+4)=(2-t,6)$.
$HG$过$A(0,6)$，$H$与$A$重合，$2-t=0$，$t=2$，$EF=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$（此处根据图形可能需调整，暂按常规计算）
(2)$\sqrt{10}$或$3\sqrt{2}$
设$EF=a$，$F(6,t)$，$H(2-t,6)$，$AP=2AH$，由坐标关系得方程，解得$a=\sqrt{10}$或$3\sqrt{2}$.