《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

12.某校数学课外活动小组用一张矩形纸片进行探究活动，如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长．
【操作】如图2，按以下步骤操作。
第一步，沿点A所在虚线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连结EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连结GF．
【发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲：四边形AEFD是正方形．
乙：$tan∠AFG=\frac{1}{3}$．
请判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【探究】如图3，在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
第四步，沿点G所在虚线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连结PM，把纸片展平．
第五步，连结FM交GP于点N．
根据以上操作，丙同学写出结论：FN·AM＝GN·AD．请证明这个结论．

答案： 【发现】甲正确，证明：折叠后AD=AE，∠D=∠AEF=90°，AE=EF=FD=AD，
∴四边形AEFD是正方形。
乙正确，证明：设AD=1，则AF=$\sqrt{2}$，GF=$\frac{1}{3}$，$tan∠AFG=\frac{1}{3}$。
【探究】证明：由折叠性质得GN=FN，AM=AD，
∴FN·AM=GN·AD。