《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

14. 定义：对于二次函数$ y=ax^{2}+bx+c(a\neq 0) $，我们称函数$ y=\begin{cases} -ax^{2}+bx-c(x\leq \frac{b}{2}) \\ ax^{2}+bx+c(x＞\frac{b}{2}) \end{cases} $为它的相关函数。
(1) 已知二次函数$ y=-x^{2}+2x+3 $的相关函数的图象与$ x $轴的正半轴交于点$ A,B $，与$ y $轴交于点$ C $，求$ \triangle ABC $的面积。
(2) 已知二次函数$ y=x^{2}+mx+2 $的图象经过点$ (1,1) $，求当$ -2\leq x\leq 0 $时相关函数$ y $的取值范围。
(3) 如图，已知正方形$ ABCD $的边长为4，$ AB// x $轴、$ AD// y $轴，点$ A $的坐标是$ (-2,2) $，当二次函数$ y=x^{2}-2x+c $的相关函数的图象与正方形$ ABCD $的边有3个交点时，求$ c $的取值范围。

答案：
(1) 3
(2) $ -2\leq y\leq 10 $
(3) $ -4＜c\leq -3 $或$ 1＜c\leq 2 $
解析：
(1) 相关函数：$ x\leq 1 $时$ y=x^{2}+2x-3 $；$ x＞1 $时$ y=-x^{2}+2x+3 $。与$ x $正半轴交于$ A(1,0),B(3,0) $，$ C(0,-3) $，面积$ \frac{(3-1)×3}{2}=3 $。
(2) 代入$ (1,1) $得$ m=-2 $，相关函数$ x\leq 1 $时$ y=-x^{2}-2x-2 $，在$ -2\leq x\leq 0 $上$ y\in [-2,10] $。
(3) 正方形$ B(2,2),C(2,-2),D(-2,-2) $。相关函数与边3个交点时，$ -4＜c\leq -3 $或$ 1＜c\leq 2 $。

(3)如图，已知正方形$ ABCD $的边长为4，$ AB// x $轴、$ AD// y $轴，点$ A $的坐标是$ (-2,2) $，当二次函数$ y=x^2-2x+c $的相关函数的图象与正方形$ ABCD $的边有3个交点时，求$ c $的取值范围.

答案： 正方形$ ABCD $顶点坐标：$ A(-2,2) $，$ B(2,2) $，$ C(2,-2) $，$ D(-2,-2) $.
二次函数$ y=x^2-2x+c $，$ a=1 $，$ b=-2 $，$ \frac{b}{2}=-1 $.
相关函数为：
当$ x\leq-1 $时，$ y=-x^2-2x-c $；
当$ x＞-1 $时，$ y=x^2-2x+c $.
**右段（$ x＞-1 $，$ x\in(-1,2] $）：** $ y=(x-1)^2+c-1 $，顶点$ (1,c-1) $.
**左段（$ x\leq-1 $，$ x\in[-2,-1] $）：** $ y=-(x+1)^2+1-c $，顶点$ (-1,1-c) $.
**交点总数为3个的条件：**
1. 右段2个交点，左段1个交点：$ 2＜c＜3 $；
2. 右段1个交点，左段2个交点：$ -1＜c＜2 $.
综上，$ c $的取值范围是$ -1＜c＜2 $或$ 2＜c＜3 $.
答案：$ -1＜c＜2 $或$ 2＜c＜3 $