《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

3.如图，$ \odot O $是$ \triangle ABC $的外接圆，CD是$ \odot O $的直径.若$ CD=10 $，弦$ AC=6 $，则$ \cos\angle ABC $的值为( )
A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{4}{3} $
D.$ \frac{3}{4} $

答案： A
解析：
∵CD是直径，
∴$ \angle CAD = 90^\circ $，$ AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = 8 $。
$ \angle ABC = \angle ADC $（同弧所对圆周角），$ \cos\angle ABC = \cos\angle ADC = \frac{AD}{CD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $。

4.如图，要测量学校操场上旗杆AB的高度，小明进行了如下操作：①在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角$ \angle ACE=\alpha $;②量得测角仪的高度$ CD=a $;③量得测角仪到旗杆的水平距离$ DB=b $.旗杆的高度可表示为( )
A.$ a + b\tan\alpha $
B.$ a + b\sin\alpha $
C.$ a + \frac{b}{\tan\alpha} $
D.$ a + \frac{b}{\sin\alpha} $

答案： A
解析：在$ Rt\triangle ACE $中，$ AE = CE\tan\alpha = b\tan\alpha $，旗杆高度$ AB = AE + BE = a + b\tan\alpha $。

5.如图，在菱形ABCD中，$ \angle A=60^\circ $，点E,F分别在边AB,BC上，EF与BD交于点G，且$ \angle DEF=60^\circ $.若$ AD=3,AE=2 $，则$ \sin\angle BEF $的值是( )
A.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{17}}{5} $
D.$ \frac{\sqrt{21}}{7} $

答案： D
解析：作$ EH \perp BD $于H，$ AD = AB = 3 $，$ AE = 2 $，$ BE = 1 $，$ \angle ABD = 60^\circ $，$ BH = \frac{1}{2} $，$ EH = \frac{\sqrt{3}}{2} $。
设$ BG = x $，$ GH = x - \frac{1}{2} $，由$ \angle DEF = 60^\circ $，得$ \tan\angle GEF = \frac{EH}{GH} = \sqrt{3} $，解得$ x = \frac{3}{2} $。
$ EF = \frac{EH}{\sin60^\circ} = \frac{\sqrt{21}}{3} $，$ \sin\angle BEF = \frac{\sqrt{21}}{7} $。

6.某学校的大门是伸缩的移动门，如图所示是大门关闭时的示意图.若图中菱形的边长都是0.5m，锐角都是$ 60^\circ $，则大门的宽度是______m.

答案： $\frac{3}{2}$
解析：每个菱形的短对角线长为$ 0.5 × \sin30^\circ × 2 = 0.5 $m，大门由3个菱形组成，宽度$ = 3 × 0.5 = \frac{3}{2} $m。

7.如图，半径为$ \sqrt{3} $的$ \odot O $与边长为9的等边三角形ABC的两边AB,BC都相切，连结OC，则$ \tan\angle OCB $的值是______.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{6}$
解析：设切点为D,E，$ OD = OE = \sqrt{3} $，$ \angle OBC = 30^\circ $，$ OB = 2OE = 2\sqrt{3} $，$ BE = 3 $。
$ BC = 9 $，$ EC = 6 $，$ \tan\angle OCB = \frac{OE}{EC} = \frac{\sqrt{3}}{6} $。