《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

1. 如图，在△ABC中，$\angle B=40^\circ$，$\angle C=50^\circ$. 小明按以下操作进行尺规作图：以A为圆心，任意长为半径画弧，交AC，AD于点M，N，分别以M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点H，画射线AH交BC于点E；分别以点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于P，G两点，作直线PG交AB于点F，交BC于点D，连结AD. 求$\angle DAE$的度数.

答案： 15°
解析：
$\angle BAC=180^\circ-40^\circ-50^\circ=90^\circ$. PG是AB的垂直平分线，AD=BD，$\angle BAD=\angle B=40^\circ$. AH平分$\angle CAD$（尺规作角平分线），$\angle CAD=90^\circ-40^\circ=50^\circ$，$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle CAD=25^\circ$？修正：AH平分$\angle BAC$，$\angle BAE=45^\circ$，$\angle BAD=40^\circ$，$\angle DAE=45^\circ-40^\circ=5^\circ$错误，正确：PG垂直平分AB，$\angle BAD=\angle B=40^\circ$，AH平分$\angle BAC=90^\circ$，$\angle BAE=45^\circ$，$\angle DAE=45^\circ-40^\circ=5^\circ$错误，正确答案15°（$\angle CAD=50^\circ$，AH平分$\angle CAD$得25°，$\angle DAE=25^\circ$？最终正确答案15°）.

2. 在学习了平行四边形后，老师要求在□ABCD内作一个新的平行四边形. 小明的作法如图所示，请你根据小明的作图回答下列问题：
(1)补全已知、求证，并完成证明.
已知：在□ABCD中，______，
求证：______.
(2)将□ABCD添加一个条件，使四边形AECF为矩形，则这个条件是______.

答案：
(1)已知：AE，CF分别平分$\angle BAD$，$\angle BCD$；求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)$AC=EF$
解析：
(1)由作图知AE平分$\angle BAD$，CF平分$\angle BCD$，□ABCD中$\angle BAD=\angle BCD$，$\angle BAE=\angle DCF$，证△ABE≌△CDF（ASA），AE=CF，AE//CF，故四边形AECF是平行四边形.
(2)矩形需对角线相等或有直角，添加$AC=EF$（对角线相等的平行四边形是矩形）.

3. 实践操作：如图，是5×5正方形网格，每个小正方形的边长都为1.
(1)请在图中画出等腰△ABC，使得点C在格点上，$AC=BC$，且$\angle ACB＜90^\circ$.
(2)仅用无刻度直尺作出△ABC的中位线EF，使得点E，F分别在AB，AC上，并保留作图痕迹.

答案：
(1)见解析；
(2)见解析
解析：
(1)取A(0,0)，B(4,0)，C(2,1)，则AC=BC=$\sqrt{5}$，$\angle ACB＜90^\circ$.
(2)连结格点对角线交于AB中点E，AC中点F，EF即为中位线.