《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

11. 在矩形ABCD中，点E在AD边上，请用无刻度的直尺按要求画图：
(1)在图1中，在BC上找点F，使得CF=AE.
(2)如图2，若ED=EB，作∠BED的角平分线EG.
第11题图

答案：
(1)连结AC、BD交于O，连结EO并延长交BC于F；
(2)连结BD交EB于O，连结AO并延长交ED于G
解析：
(1)矩形对角线互相平分，O是AC中点，EO延长线交BC于F，△AOE≌△COF，CF=AE。
(2)ED=EB，△EBD为等腰三角形，BD中点O，AO平分∠BAD，延长AO交ED于G，EG平分∠BED。

12. 如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点F在DC的延长线上，点E在AD上，且有∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABF.
(1)如图1，当a=b时，若∠CBE=60°，求证：BE=BF.
(2)如图2，当b=$\frac{3}{2}$a时，点E是AD中点.
①求证：CF + BF=2a.
②求$S_{\triangle BCF}:S_{矩形ABCD}$的值.
第12题图

答案：
(1)见解析；
(2)①见解析；②$\frac{1}{3}$
解析：
(1)a=b，矩形为正方形，∠CBE=60°，∠ABF=120°，∠FBC=30°，△BCE中，BE=2CE，△BCF中，BF=2CE，故BE=BF。
(2)①b=$\frac{3}{2}a$，E是AD中点，AE=ED=$\frac{3}{4}a$。设CF=x，BF=$\sqrt{a² + (b + x)²}$，由∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABF，正切二倍角公式$\tan2θ=\frac{2\tanθ}{1 - \tan²θ}$，$\tan∠ABF=\frac{b + x}{a}$，$\tan∠CBE=\frac{CE}{BC}=\frac{a - \frac{3}{4}a}{\frac{3}{2}a}=\frac{1}{6}$，解得x=$\frac{a}{2}$，CF + BF=$\frac{a}{2}+\frac{3a}{2}=2a$。
②$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}×a×\frac{a}{2}=\frac{a²}{4}$，矩形面积=ab=$\frac{3}{2}a²$，比值=$\frac{1}{3}$。

13. 如图，把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”．
(1)性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试证明等式AB²+CD²=AD²+BC²成立．

答案：
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD=90°．
由勾股定理：AB²=AO²+BO²，CD²=CO²+DO²，
AD²=AO²+DO²，BC²=BO²+CO²，
∴AB²+CD²=AO²+BO²+CO²+DO²=AD²+BC²．