《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

13.如下图，M,N分别为$ \angle AOB $边OA,OB上的点，把$ \angle AOB $沿MN折叠，点O落在$ \angle AOB $所在平面内的点C处.
(1)如图1，点C在$ \angle AOB $内.若$ \angle CMA=20^\circ,\angle CNB=50^\circ $，求$ \angle AOB $的度数.
(2)如图2，若$ \angle AOB=45^\circ,ON=\sqrt{2} $，折叠后点C在直线OB上方，CM与OB交于点E，且$ MN=ME $，求折痕MN的长.
(3)如图3，若折叠后，直线MC⊥OB，垂足为点E，且$ OM=5,ME=3 $，求ON的长.

答案：
(1)解：由折叠得$ \angle OMN = \angle CMN $，$ \angle ONM = \angle CNM $。
∵$ \angle CMA = 20^\circ $，
∴$ \angle OMC = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ $，$ \angle OMN = \frac{1}{2}\angle OMC = 80^\circ $。
同理$ \angle ONC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $，$ \angle ONM = 65^\circ $。
在$ \triangle OMN $中，$ \angle AOB = 180^\circ - 80^\circ - 65^\circ = 35^\circ $。
(2)解：设$ MN = ME = x $，$ \angle NME = \angle NCM = \alpha $，$ \angle AOB = 45^\circ $，则$ \angle ONE = 2\alpha $。
在$ \triangle ONE $中，$ \frac{ON}{\sin\alpha} = \frac{OE}{\sin2\alpha} $，$ ON = \sqrt{2} $，解得$ x = 2 $，即$ MN = 2 $。
(3)解：设$ ON = CN = y $，$ OE = a $，$ EN = b $，则$ y = a + b $。
∵$ MC \perp OB $，$ OM = 5 $，$ ME = 3 $，
∴$ CE = OE = a $，$ a^2 + 3^2 = (5 - a)^2 $，解得$ a = \frac{8}{5} $。
由勾股定理$ b = \frac{6}{5} $，故$ ON = a + b = \frac{14}{5} $。