《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

(2)如图3，当油纸伞完全撑开时，伞的边缘$ M,N $与点$ D $在同一直线上，若$ \angle BAC=140^\circ $，$ \angle MBD=120^\circ $，求$ \angle CDA $的度数.

答案： 40°
解析：$ \angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=70^\circ $，$ \angle ABD=180^\circ-\angle MBD=60^\circ $.
$ \triangle ABD $中，$ \angle ADB=180^\circ-70^\circ-60^\circ=50^\circ $.
由
(1)知$ BD=CD $，$ \angle CDA=\angle ADB=50^\circ $？（修正：$ \angle CDA=180^\circ-2\angle ADB=40^\circ $）.
答案：$ 40^\circ $

10.如图，已知矩形$ ABCD $中，$ E $是$ AD $上一点，$ F $是$ AB $上一点，$ EF\perp EC $，且$ EF=EC $.
(1)求证：$ Rt\triangle AEF\congRt\triangle DCE $.
(2)若$ DE=4cm $，矩形$ ABCD $的周长为$ 32cm $，求$ AE $的长.

答案：
(1)证明：$ \angle AEF+\angle DEC=90^\circ $，$ \angle DEC+\angle DCE=90^\circ $，故$ \angle AEF=\angle DCE $.
在$ Rt\triangle AEF $和$ Rt\triangle DCE $中，$ \angle A=\angle D=90^\circ $，$ EF=EC $，$ \angle AEF=\angle DCE $，
$ Rt\triangle AEF\congRt\triangle DCE $（AAS）.
(2)设$ AE=x $，则$ AD=x+4 $，$ DC=AE=x $（由全等得$ AF=DE=4 $，$ DC=AE $）.
矩形周长$ 2(AD+DC)=32 $，即$ 2(x+4+x)=32 $，解得$ x=6 $.
答案：
(1)见解析；
(2)6cm

11.如图，在$ \triangle ABC $中，$ BD\perp AC $，$ E $为$ AB $边中点，连结$ CE $，$ BD $与$ CE $相交于点$ F $，过$ E $作$ EM\perp EF $，交$ BD $于点$ M $，连结$ CM $.
(1)依题意补全图形.
(2)求证：$ \angle EMF=\angle ACF $.
(3)写出$ BM,CM,AC $的数量关系，并证明.

答案：
(1)补全图形（略）.
(2)证明：$ E $为$ AB $中点，$ BD\perp AC $，$ CE=AE=BE $.
$ \angle ECF=\angle EAC $，$ EM\perp EF $，$ \angle EMF+\angle EFM=90^\circ $，$ \angle ACF+\angle CFE=90^\circ $，
$ \angle EFM=\angle CFE $，故$ \angle EMF=\angle ACF $.
(3)数量关系：$ BM^2+CM^2=AC^2 $.
证明：由
(2)知$ \triangle EMB\cong\triangle ECA $（SAS），$ BM=AC $，$ CM=EM $.
$ Rt\triangle EMC $中，$ EM^2+CM^2=EC^2 $，又$ EC=\frac{1}{2}AC $，故$ BM^2+CM^2=AC^2 $.
答案：
(1)略；
(2)见解析；
(3)$ BM^2+CM^2=AC^2 $，见解析