《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

3.关于$x$的方程$x(x-1)=3(x-1)$，下列解法完全正确的是( )
A.两边同时除以$(x-1)$，得$x=3$
B.整理得$x^2-4x=-3$∵$a=1$，$b=-4$，$c=-3$，$b^2-4ac=28$，∴$x=\frac{4±\sqrt{28}}{2}=2±\sqrt{7}$
C.整理得$x^2-4x=-3$配方得$x^2-4x+2=-1$，∴$(x-2)^2=-1$，∴$x_1=1$，$x_2=3$
D.移项得$(x-3)(x-1)=0$，∴$x-3=0$或$x-1=0$，∴$x_1=1$，$x_2=3$

答案： D
解析：移项得$x(x - 1) - 3(x - 1) = 0$，$(x - 1)(x - 3)=0$，根$x=1$或$x=3$，D正确。

4.已知3是关于$x$的方程$x^2-(m+1)x+2m=0$的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰$\triangle ABC$的两条边的边长，则$\triangle ABC$的周长为( )
A.7
B.10
C.11
D.10或11

答案： D
解析：代入$x=3$得$9 - 3(m + 1) + 2m = 0$，$m=6$。方程为$x^2 - 7x + 12 = 0$，根3和4。
等腰三角形三边3,3,4（周长10）或4,4,3（周长11），故选D。

5.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )
A.144
B.189
C.252
D.288

答案： A
解析：设最小数$x$，最大数$x + 16$（每行差7，每列差1，3×3中最大数比最小数大16）。
$x(x + 16)=192$，$x^2 + 16x - 192 = 0$，$x=8$（$x=-24$舍）。
中间数$x + 8=16$，和$9×16=144$。

二、填空题
6.若关于$x$的方程$x^2+ax-2=0$有一个根是1，则$a$的值为______.

答案： 1
解析：代入$x=1$得$1 + a - 2 = 0$，$a=1$。

7.对于实数$a$，$b$，定义运算“◎”如下：$a◎b=(a+b)^2-(a-b)^2$.若已知等式$(m+2)◎(m-3)=-16$，则$m=$______.

答案： 2或-1
解析：$a◎b=4ab$，$(m+2)◎(m-3)=4(m+2)(m-3)=-16$。
$(m+2)(m-3)=-4$，$m^2 - m - 2 = 0$，$m=2$或$m=-1$。

8.若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+\frac{3}{2}ax-a^2=0$的一个根，则该方程另一根为______.

答案： $\frac{1}{2}$或8
解析：代入$x=-2$得$4 - 3a - a^2 = 0$，$a^2 + 3a - 4 = 0$，$a=1$或$a=-4$。
当$a=1$时，方程$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$；当$a=-4$时，方程$x^2 - 6x - 16 = 0$。
由韦达定理，另一根分别为$\frac{1}{2}$或8。

9.直线$y=x+a$不经过第二象限，则关于$x$的方程$ax^2+2x+1=0$实数解的个数是______.

答案： 1或2
解析：直线不经过第二象限，$a≤0$。
$a=0$时，方程$2x + 1 = 0$，一个解；$a＜0$时，判别式$4 - 4a＞0$，两个解。

10.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为$x$，根据题意，请列出方程______.

答案： $301(1+x)^2=500$
解析：第一个月301，第二个月$301(1+x)$，第三个月$301(1+x)^2=500$。

三、解答题
11.解方程：$2x(x+3)=4(x+3)$.

答案： 移项得$2x(x + 3) - 4(x + 3) = 0$。
因式分解：$(x + 3)(2x - 4) = 0$。
解得$x_1 = -3$，$x_2 = 2$。

11.解方程：2x(x+3)=4(x+3).

答案： x₁=-3，x₂=2
解析：移项得2x(x+3)-4(x+3)=0，因式分解为(x+3)(2x-4)=0，解得x=-3或x=2。