《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

13. 规定：$[x]$表示实数$x$的整数部分，如$[3.14]=3$，$[\sqrt{8}]=2$. 根据此规定解决下列问题.
(1)求$[\sqrt{1}]+[\sqrt{4}]+[\sqrt{9}]$的值.
(2)求$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\cdots+[\sqrt{9}]$的值.
(3)求$[\sqrt[3]{1}]+[\sqrt[3]{2}]+[\sqrt[3]{3}]+\cdots+[\sqrt[3]{64}]$的值.

答案：
(1)6；
(2)16；
(3)160
解析：
(1)$[\sqrt{1}]=1$，$[\sqrt{4}]=2$，$[\sqrt{9}]=3$，原式$=1+2+3=6$.
(2)当$1\leq x＜4$时，$[\sqrt{x}]=1$，共3个数；当$4\leq x＜9$时，$[\sqrt{x}]=2$，共5个数；当$x=9$时，$[\sqrt{9}]=3$. 原式$=3×1+5×2+3=3+10+3=16$.
(3)当$1\leq x＜8$时，$[\sqrt[3]{x}]=1$，共7个数；当$8\leq x＜27$时，$[\sqrt[3]{x}]=2$，共19个数；当$27\leq x＜64$时，$[\sqrt[3]{x}]=3$，共37个数；当$x=64$时，$[\sqrt[3]{64}]=4$. 原式$=7×1+19×2+37×3+4=7+38+111+4=160$.

14. 观察下列两个等式：$2 - \frac{1}{3}=2×\frac{1}{3}+1$，$5 - \frac{2}{3}=5×\frac{2}{3}+1$，给出如下定义. 我们称使等式$a - b = ab + 1$成立的一对有理数$a,b$为“共生有理数对”，记为$(a,b)$，如：数对$(2,\frac{1}{3})$，$(5,\frac{2}{3})$都是“共生有理数对”.
(1)数对$(-2,1)$，$(3,\frac{1}{2})$中是“共生有理数对”的是______.
(2)若$(m,n)$是“共生有理数对”，则$(-n,-m)$______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）.
(3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”：______.（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
(4)若$(a,3)$是“共生有理数对”，求$a$的值.

答案：
(1)$(3,\frac{1}{2})$；
(2)是；
(3)$(4,\frac{3}{5})$（答案不唯一）；
(4)$a=-2$
解析：
(1)对于$(-2,1)$，左边$=-2 - 1=-3$，右边$=(-2)×1 + 1=-1$，左边≠右边；对于$(3,\frac{1}{2})$，左边$=3 - \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，右边$=3×\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$，左边=右边，故填$(3,\frac{1}{2})$.
(2)因为$(m,n)$是共生有理数对，所以$m - n = mn + 1$. 对于$(-n,-m)$，左边$=-n - (-m)=m - n$，右边$=(-n)(-m)+1=mn + 1$，左边=右边，故填是.
(3)令$a=4$，则$4 - b = 4b + 1$，解得$b=\frac{3}{5}$，故可填$(4,\frac{3}{5})$.
(4)由题意得$a - 3 = 3a + 1$，解得$a=-2$.