《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

14.如图，经过坐标原点O的一条直线交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象于点A(-2,3)，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线AC交y轴于点E，连结AD，BC，BD．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形ACBD是平行四边形．
(2)当四边形ACBD是矩形时，求点C的坐标．

答案：
(1)①$B(2,-3)$
解析：A，B关于原点对称，$A(-2,3)$，则$B(2,-3)$．
②设$C(t,0)$，则$D(-t,0)$．
$\overrightarrow{AC}=(t+2,-3)$，$\overrightarrow{BD}=(-t-2,3)=-\overrightarrow{AC}$，
∴$AC// BD$且$AC=BD$，四边形ACBD是平行四边形．
(2)$C(\pm\sqrt{13},0)$
解析：$AC\perp BC$，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=(t+2)(t-2)+(-3)×3=t^2-13=0$，$t=\pm\sqrt{13}$．