《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

12.已知M=5x²+3，N=4x²+4x.
(1)求当M=N时x的值.
(2)当$1＜x＜\frac{5}{2}$时，试比较M，N的大小.

答案：
(1)x=1或x=3；
(2)M＜N
解析：
(1)M=N时，5x²+3=4x²+4x，整理得x²-4x+3=0，解得x=1或x=3。
(2)M-N=x²-4x+3=(x-1)(x-3)，当$1＜x＜\frac{5}{2}$时，x-1＞0，x-3＜0，故M-N＜0，即M＜N。

13.已知关于x的一元二次方程x²-(m+3)x+3m=0.
(1)求证：无论m取何实数，方程总有实数根.
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两个根，求m的值.

答案：
(1)见解析；
(2)m=3或4
解析：
(1)Δ=(m+3)²-12m=(m-3)²≥0，故方程总有实数根。
(2)方程因式分解为(x-3)(x-m)=0，根为3和m。若腰为4，则m=4；若底为4，则腰为3，此时m=3，故m=3或4。

任务1：感受新知：用判别式法求3x²+7x+4的最小值.

答案： $-\frac{1}{12}$
解析：令y=3x²+7x+4，则3x²+7x+4-y=0，Δ=49-12(4-y)≥0，解得$y≥-\frac{1}{12}，$最小值为$-\frac{1}{12}。$

任务2：探索新知：若实数x，y满足(x-3)²+y²=6，求$\frac{y}{x}$的最大值.
对于这一问题，请你帮助完成具体计算：
首先令$\frac{y}{x}=k，$将y=kx代入原式得______；
将新得到的等式看作关于字母______（选填x，y，k）的一元二次方程；
利用判别式可得$\frac{y}{x}$的最大值为______.

答案： (x-3)²+(kx)²=6；x；$\sqrt{2}$
解析：代入得(x-3)²+(kx)²=6，整理为(1+k²)x²-6x+3=0，Δ=36-12(1+k²)≥0，解得k²≤2，最大值为$\sqrt{2}。$

任务3：应用新知：如图，在三角形ABC中，∠C=60°，$AB=\sqrt{39}，$记BC=a，AC=b，求3a+b的最大值.

答案： 26
解析：由余弦定理a²+b²-ab=39，设t=3a+b，则b=t-3a，代入得13a²-7ta +t²-39=0，Δ=49t²-52(t²-39)≥0，解得t²≤676，最大值为26。