《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

13.如图，AB是⊙O的直径，C,D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连结OE，交AC于点G.
(1)求证：FC是⊙O的切线.
(2)连结DC,CO，判断四边形ADCO的形状，并证明.
(3)求$\frac{OG}{GE}$的值.

答案：
(1)连结OC，
∵C,D是半圆三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}=60°，$∠AOC=60°，OA=OC，△AOC是等边三角形，∠OAC=60°.
$∠DAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CD}=30°，$
∴∠EAC=∠OAC-∠DAC=30°，AE⊥EF，∠E=90°，∠F=60°，∠OCF=180°-∠F-∠AOC=180°-60°-60°=60°？不对，∠OCA=60°，∠ACF=90°-∠EAC=60°，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=120°？修正：$∠AOD=60°（\overset{\frown}{AD}=120°），$OA=OD，△AOD等边，∠OAD=60°，AE⊥EF，∠E=90°，∠F=30°，∠AOC=60°，OC=OA，∠OCA=60°，∠ACF=30°（∠EAC=30°），
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=90°，OC⊥FC，FC是切线.
(2)菱形.证明：OA=OC=OD，$\overset{\frown}{AD}=120°，$∠AOD=120°，△AOD中OA=OD，∠OAD=30°，∠OAC=60°（△AOC等边），
∴AD//OC（内错角∠OAD=∠AOC=60°），AD=OA=OC，
∴ADCO是平行四边形，又OA=OC，故为菱形.
$(3)\frac{1}{2}$
设半径OA=2，A(-2,0)，O(0,0)，$C(1,\sqrt{3})，$AD：$D(1,-\sqrt{3})，$AD方程：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2)，$AE⊥EF，EF斜率$-\sqrt{3}，$过$C(1,\sqrt{3})，$EF方程：$y-\sqrt{3}=-\sqrt{3}(x-1)，$令y=0得F(2,0)，OE：O(0,0)，E为AD延长线与EF交点，联立AD与EF方程得$E(-4,2\sqrt{3})，$OE方程：$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x，$AC方程：$y=\sqrt{3}(x+2)，$交点$G(-\frac{4}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})，$$OG=\sqrt{(-\frac{4}{3})²+(\frac{2\sqrt{3}}{3})²}=\frac{2\sqrt{7}}{3}，$$GE=\sqrt{(-4+\frac{4}{3})²+(2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3})²}=\frac{4\sqrt{7}}{3}，$$\frac{OG}{GE}=\frac{1}{2}.$