《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

12.在平面直角坐标系中,点B的坐标为(0,4√3),以OB为边在y轴的右侧作正三角形OAB,AC⊥y轴,垂足为C.
(1)如图1,求点A的坐标.
(2)点D在线段AC上,点E是直线AB上一动点,连结DE,以DE为边作正三角形DEF(点D,E,F按逆时针排列).
①如图2,当点E与点A重合时,连结OD,BF.若BF=2√7,求点D的坐标.
②若CD=2,点P是直线DF与直线OA的交点,当OP=√3时,求点E的坐标.

答案：
(1)(6,2√3)
解析：
(1)OB=4√3，正△OAB中，AC⊥y轴，OC=BC=2√3，AC=√(OB²-OC²)=√[(4√3)²-(2√3)²]=6，故A(6,2√3)。
(2)①(6,2√3-2)
解析：①E与A重合，DE=DA，正△DEF≌△DAO(SAS)，BF=OD=2√7。设D(6,y)，OD²=6²+y²=(2√7)²，解得y=2√3-2（y＜2√3），故D(6,2√3-2)。
②(3+√3,√3)或(3-√3,3√3)
解析：②CD=2，D(6,2√3-2)。OA：y=(√3/3)x，设E(m,n)在AB：y=-√3x+8√3上。DF：由正△DEF得F坐标，联立DF与OA方程，OP=√3得P(3,√3)或(-3,-√3)，解得E(3+√3,√3)或(3-√3,3√3)。