《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

7. 试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a + b}+\frac{1}{a - b})÷★=\frac{2}{a + b}$被小颖同学不小心滴上墨汁★．被墨汁★遮住部分的代数式为______．

答案： $\frac{a}{a - b}$
解析：左边括号内$\frac{(a - b)+(a + b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{2a}{(a + b)(a - b)}$，★=$\frac{2a}{(a + b)(a - b)}÷\frac{2}{a + b}=\frac{a}{a - b}$。

8. 某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）．方案一如图甲所示，绿化带面积为$S_{甲}$；方案二如图乙所示，绿化带面积为$S_{乙}$．设$k=\frac{S_{甲}}{S_{乙}}(a ＞ b ＞ 0)$，则k的取值范围是______．

答案： $\frac{1}{2}＜k＜1$
解析：$S_{甲}=2ab - b^{2}$，$S_{乙}=2ab$，$k=\frac{2ab - b^{2}}{2ab}=1-\frac{b}{2a}$。$0＜\frac{b}{a}＜1$，$0＜\frac{b}{2a}＜\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＜k＜1$。

9. 化简：$\frac{1}{x - 1}+\frac{2}{x + 2}$．小明的解法如下框．
解：原式$=x + 2 + 2(x - 1)$ …①
$=x + 2 + 2x - 2$ …②
$=3x$ …③
小明的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请指出错误的标号，并写出你的正确解答过程．

答案： 错误，标号①，正确过程见解析
解析：小明未通分直接去分母，错误在①。
正确解答：原式$=\frac{(x + 2)+2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{x + 2 + 2x - 2}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{3x}{(x - 1)(x + 2)}$。

10. 观察下面的等式：$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})$，$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$，$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$……
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．

答案： （1）$\frac{1}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$；（2）见解析
解析：（1）规律为$\frac{1}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$。
（2）右边$=\frac{1}{2}×\frac{(n + 2)-n}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}×\frac{2}{n(n + 2)}=\frac{1}{n(n + 2)}=$左边，结论正确。